格林公式与曲面积分的总结.doc

实用标准文案 PAGE 精彩文档 曲 面 积 分 与 格 林 公 式 总 结 1．曲面积分的概念 （1）对面积的曲面积分 1）定义：设函数在光滑曲面上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对面积的曲面积分，即 ． 2）性质： ① 与曲面侧的选择无关，即． ② 对曲面具有可加性，即若，则 ． （2）对坐标的曲面积分 1）定义：设函数在光滑的有向曲面上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对坐标的曲面积分，即 ． 2）性质： ① 与曲面的侧有关， 即． ② 对曲面具有可加性，即若，则 ． 2．曲面积分的计算方法 （1）对面积的曲面积分――化为投影域上的二重积分． 计算方法与步骤： 1）画出曲面草图，写出曲面方程； 2）做三代换： ① ；② ；③ 曲面在面上的投影域．将对面积的曲面积分化为二重积分 ； 3）在投影域上计算二重积分． （2）对坐标的曲面积分 计算方法与步骤 1）利用高斯公式 若为封闭曲面，则 ． 条件一：在空间区域内偏导连续； 条件二：曲面为闭曲面的外侧． ② 若为非封闭曲面，且比较复杂, 在由 (为闭合)所围成的空间闭区域中有一阶连续偏导数，则 ． 2）通过投影到坐标面上化为二重积分 ． 其中号的确定： 若曲面的法向量与轴夹角为锐角时，第一个积分前取正号，否则取负号； 若曲面的法向量与轴夹角为锐角时，第二个积分前取正号，否则取负号； 若曲面的法向量与轴夹角为锐角时，第三个积分前取正号，否则取负号． 3）利用两类曲面积分之间的联系改变投影面 ． ． 其中，，，为曲面上点处法向量的方向余弦． （3）两类曲面积分的联系 ． 其中为曲面上点处法向量的方向余弦． 3．曲面积分应用 1）几何应用： 空间曲面的面积． 2）物理应用： 面密度为的物质曲面， 质量： ； 重心坐标： ， ，； 转动惯量： ，， ，． 流体流量：设流体的密度，速度，单位时间内流过曲面指定侧的流量 ． 4．高斯公式 设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数 在上具有一阶连续偏导数，则有 ． 这里是的整个边界曲面的外侧，是上点处的法向量的方向余弦． 高斯公式的物理意义：若是高斯公式中闭区域的边界曲面的外侧，那么 解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量等于分布在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量．所以高斯公式另一写法 其中是空间闭区域的边界曲面，而是在外侧法向量上的投影． 向量场的散度： 称为向量场的散度． 5．斯托克斯公式 设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有 ． 另一种写法 ． 环流量：沿有向闭曲线的曲线积分叫向量场沿有向闭曲线的环流量． 向量场的旋度： 斯托克斯公式物理意义：向量场沿有向闭曲线的环流量等于向量场的旋度场通过曲线所张的曲面的通量． 二、例题分析 1．对面积的曲面积分 例1．计算，其中为球面． 解：方法1：曲面分成两个半球面 , 则面积元素分别为 ， 又它们在面上的投影均为， 因此积分 同理 , 于是 ． 方法2：之间投影到平面计算． 2．对坐标的曲面积分 上述三种计算方法适用情况： （1）若曲面在面上投影为一个区域，则用方法3）简便； （2）若曲面在面上投影为一条线，且具有连续的偏导数，则通常用加面，使封闭，利用高斯公式； （3）若曲面在面上投影为一条线，偏导数不连续的情况下，使用方法2）处理． 例2．计算曲面积分，其中为下半球面的上侧，为大于零的常数． 解：因为被积函数在点没有定义，不能用加、减一块面构成闭曲面计算积分，应先将半球面方程带入被积函数中，得 以下利用三种方法计算本题： 方法1： 利用高斯公式 补一张面，投影域为，且是下侧，这里 则 ． 方法2：投影法：曲面投影到平面上应分成前后两块，即 曲面在平面的投影域为， 曲面在平面的投影域为， 因为 而 ， ， 于是 ． 方法3：转换投影法：投影到平面上， 曲面曲面法向量为 ， 投影域为， 例3．计算，其中是椭球面外侧． 解：当时， ，但是曲面方程不满足常数，将曲面改换为：外侧，（），于是 ， 即 （） ． 例5． 计算，其中为由曲面与平面所围成的闭曲面外侧． 解：对第一个积分可以用高斯公式，即 （其中：为在部分） ， 对于第二个积分不能用高斯公式，因为在处偏导数不存在，只能投影，将曲面分成两块，上侧，下侧， 因为垂直于平面，所以， 对于积分，将投影到平面还需要分麻烦，采用转换投影法，投影到平，因为曲面法向量，所以 （因为被积函数关于的奇函数且积