专题15 图形面积（教案).docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT 1 哈佛北大精英创立 PAGE \* MERGEFORMAT 1 物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积（表示二维平面图形的大小）。比如三角形、平行四边形、梯形、圆的面积；长方体的表面积，棱柱的底面积、侧面积，凌锥的底面积、侧面积，以及圆柱的底面积、侧面积，圆锥的底面积，全面积，球的表面积等都涉及面积的计算问题 QUOTE 1.基本公式 QUOTE 别为a、b、c,其对应边上高的长度分别为 QUOTE 、 QUOTE 、 QUOTE ，那么△ABC的面积 QUOTE ； 平行四边形的面积：如果平行四边形的底边长为 QUOTE ，高为 QUOTE ，那么平行四边形的面积 QUOTE ； 梯形的面积：如果四边形 QUOTE 是梯形，其上底边长为 QUOTE ，下底边长为 QUOTE ，高为 QUOTE ，那么梯形的面积 QUOTE ； 菱形的面积：如果菱形的两条对角线的长分别为 QUOTE 、 QUOTE ，那么菱形的面积 QUOTE ； 圆的面积：如果圆的半径为 QUOTE ，那么圆的面积 QUOTE 。 2.基本理论 如果两个图形全等，那么它们的面积相等； 如果两个三角形的底和高分别相等，那么这两个三角形的面积相等。 例题分析 例题1 如图15-1、在中，是边长上的一点，已知，求的面积。 [解] 过作 ∵△是等腰三角形 ∴ ∴ ∴ [另解]在△，， 由余弦定理得， QUOTE 例题2 如图15-2，在中，已知和分别是两边上的中线，垂直，，求的面积。 [解] 连接，则 QUOTE ∵、是△的两条中线 ∴、分别是、的中点 ∴且 ∴ QUOTE 例题3 如图15-3，在等腰 QUOTE 中，，点为腰的中点，点在底边上，且，求的面积。 [解] 过作，与延长线交于 ∵ ∴ ∴ ∴ 又因为 QUOTE ，所以是的平分线， 点到和的距离相等，所以 所以 [另解] 作于，设 ∵， QUOTE ∴ ∴ ∴，即 ∴ 又∵ ∴，解得 QUOTE 例题4 如图15-5，大圆 QUOTE 的直径 QUOTE ，分别以为直径作 QUOTE ，这些圆相内切或外切，求四边形 QUOTE 的面积。 [解] 连接 QUOTE ，则 QUOTE \* MERGEFORMAT 点必在 QUOTE \* MERGEFORMAT 上，且 QUOTE \* MERGEFORMAT 设、 QUOTE 的半径均为，则 QUOTE \* MERGEFORMAT 、的半径均为 QUOTE 在 QUOTE 中，由勾股定理得 ,，解得 ∴ QUOTE 易证 QUOTE 为菱形，其面积 QUOTE 三、专题训练 专题练习 1.如图所示，在梯形中，，，，，，求梯形的面积. 2.如图所示，四边形的外接圆半径为2，对角线与的交点为，， ，且，求四边形的面积. 3.如图所示，在中，，且到的距离之比为1:2，若， ，求三角形的面积. 4.如图所示，在凸五边形中，，，，，, ，求凸五边形的面积. 5.如图所示，点分别在矩形的边和上，若，，， 求的面积. 6.如图所示，四边形是直角梯形，且，，，，求梯形的面积. 7.如图所示，在中，，，是与的交点，且的面积为1，求的面积. 8.四边形的面积为1，将边三等分，分点为，使得，又将三等分，分点为，使得，求证：四边形的面积为. 9.如图所示，是半径为1的外一点，，是的切线，是切点，弦， 连结，求的面积. 10.三角形中，是的中点，，，，求三角形的面积. 专题作业 1.如图所示，已知边长为的正方形，为的中点，为的中点，求的面积. 2．如图所示，内各三角形的面积分别为，求四边形的面积. 在周长为定值的三角形中，怎样的三角形面积最大，并求出最大值. 专题15 参考答案 1．解：过作于，过作于， 2.解：由题意， ∴ 又 ∴∽ ∴ 连结交于，则 ∴ ∴S= ∵是的中点 ∴=，= ∴， 3.解： ∵∥∥ ∴∽，∽ ∴ 由题意 ∴， ∴ ∴。 即 4.解：设，则 由于与的边与上的高相等，所以 因为∥，所以∽ 故 化简得，即 解得 所以五边形ABCDE的面积为 5.解：设，由题意得 则，所以 化简得，即 解得（舍去）或 所以 6．解：将三角形绕点逆时针旋转， 得到三角形，则，， 所以，则中，， 所以为直角三角形且， 所以。 则 即，即， 7.解：由梅涅劳斯定理可得， 8.解：如图15-20所示，连接。 因为是直径且，弧与弧AC的长度相等， ∴∴四点共圆，