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阿波罗尼斯圆及其应用
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阿波罗尼斯圆及其应用
数学理论
“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
（时点的轨迹是线段的中垂线）
阿波罗尼斯圆的证明及相关性质
定理：为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为
证 （以为例）
设，则
.
由相交弦定理及勾股定理知
于是
而同时在到两点距离之比等于的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆上任意一点到两点的距离之比恒为
性质1.当时，点在圆内，点在圆外；
当时，点在圆内，点在圆外。
性质2.因，过是圆的一条切线。
若已知圆及圆O外一点，可以作出与之对应的点反之亦然。
性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为
性质4.过点作圆的切线为切点），则分别为的内、外角平分线。
性质5.过点作圆不与重合的弦则平分
数学应用
（03北京春季）设为两定点，动点到点的距离与到点的距离之比为定值求点的轨迹.
（05江苏）圆和圆的半径都是1，，过动点分别作圆和圆的切线分别为切点），使得，试建立适当坐标系，求动点的轨迹方程.
（06四川）已知两定点如果动点满足，则点的轨迹所围成的图形的面积是________________.
(08江苏)满足条件的面积的最大值是___________.
5.在等腰中，是腰上的中线，且则面积的最大值是___________.
已知是圆上任意一点，问在平面上是否存在一点，使得若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
变式：已知圆，问在轴上是否存在点和点，使得对于圆上任意一点，都有若存在，求出坐标；若不存在，说明理由.
在中，是的平分线，且
求的取值范围；
若的面积为1，求为何值时，最短.
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