二级倒立摆系统的最优控制.ppt

二级倒立摆系统的最优控制 一、二级倒立摆介绍： 二级倒立摆系统如下图所示，它由上摆、下摆和在轨道上运动的小车组成，可以看出，这是个不稳定的系统，若不加以控制，双摆将会自动倒下。图中S为小车偏移平衡位置的位移；为下摆质心至轴心的距离（m）；为上摆质心至轴心的距离(m)。 二、系统建模 （1）小车系统： 动能为： 势能为： 损失能为 （2）下摆： 动能为： 势能为： 损失能为： （3）上摆: 动能为： 势能为： 损失能为： 定义拉格朗日函数为 整理得如下结果： 在平衡点处进行线性化处理之后得 三、列出状态空间方程 定义状态向量 所以，二级倒立摆的状态方程和输出方程为 式中 四、最优控制方案及控制器设计 控制目标 ：在经受一定的外加干扰条件下，使倒立摆在不稳定的平衡点附近做平稳运动，控制上下摆角角度和小车的位置在各自的位置零点附近变化。 根据倒立摆状态空间方程，设反馈控制律为U(t)=-Kx(t),通过是性能指标 取最小，可得 式中，P有黎卡提方案获得，即 式中Q为状态变量的加权矩阵，R为输入加权矩阵。 线性最优反馈控制系统的结构图如下图所示： 五、仿真分析 将某二级倒立摆系统模型各参数代入式1-8，得出系数矩阵 设, 多次调整参数后，取R=1,=100,=10, =5000, 写出Matlab程序如下： A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1; 0,-2.57163,0.164291,-16.6674,0.0124145,0.005; 0,29.9499,-15.1957,40.3167,-0.204856,0.17380; 0,29.9499,65.4455,-49.3949,0.463474,-0.59148]; B=[0;0;0;8.64636;-20.9146;25.9146]; C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];D=[0;0;0]; %求开环特征值 r1=eig(A) %加入最优反馈器 q1=100;q2=10;q3=5000;q4=0;q5=0;q6=0; Q=[q1 0 0 0 0 0;0 q2 0 0 0 0;0 0 q3 0 0 0;0 0 0 q4 0 0;0 0 0 0 q5 0;0 0 0 0 0 q6];R=1; %求最优增益矩阵、黎卡提方程的解、闭环特征值 [K,P,r2]=lqr(A,B,Q,R) Ac=[(A-B*K)];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D]; T=0:0.02:20;U=zeros(size(T)); x0=[0;-0.05;0.1;0;0;0]; [Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T,x0); %绘制下摆偏离垂直方向的角度变化曲线 figure(1);plot(T,Y(:,1)); xlabel(Time/sec);ylabel(01/rad);grid; %绘制上下摆角度之差的曲线 figure(2);plot(T,Y(:,2)); xlabel(Time/sec);ylabel(02-01/rad);grid; %绘制小车位移曲线 figure(3);plot(T,Y(:,3)) xlabel(Time/sec);ylabel(x(小车)/m);grid; 执行上述程序，得到如下结果和图3，图4，图5 r1 = 0 6.5927 + 1.0114i 6.5927 - 1.0114i -17.1548 -6.7472 + 0.5315i -6.7472 - 0.5315i K = 1.0e+003 * 0.0100 -1.4261 -1.0921 -0.0004 -0.1949 -0.1547 P = 1.0e+005 * 0.0014 -0.0190 -0.0164 0.0008 -0.0025 -0.0022 -0.0190 1.3728 1.1307 -0.0117 0.1855 0.1531 -0.0164 1.1307 0.9338 -0.0103 0.