08 第8章 数字信号分析(2)小波分析教学资料-.ppt

小波包变换思路 类似与Mallat算法，小波包分解也是按照分解尺度由低到高逐层向下分解，每层分解信号的所有子带均被一分为二，并传至下一层。 每层子带都将覆盖原信号所占的频率，而第 j层共有2j 个子带，它们均分了信号的整个可分析的频域。 一般情况下子带的频域将按照由低到高的顺序排列。因为分解时每一层的小波基个数较多（第j 层共有2j 个小波基），所以此算法称为小波包变换。 小波包变换的快速算法 设 x(t)为一时间信号，pij 表示第 j层上的第 i个小波包，称为小波包系数，G、H为小波分解滤波器，H与尺度函数有关，G与小波函数有关。二进小波包分解的快速算法为： 其中 小波包分解快速算法 应注意：分解得到的p是小波包系数，不是原信号在某个频段的分量，根据小波变换理论，可将信号的原始数据作为处于最低层的小波包系数 。 由此可知，原始信号经过以分析频率fs的n层小波包分解后，频域将被分成2n 段，各小波包分量对应的频段分别为 若频率信号较多，从理论上来说，只要取得n值足够大，总是可将各频段信号进行分解的。 二进小波包重构的快速算法为 式中 h、g为小波重构滤波器，h与尺度函数有关，g与小波函数有关。 小波包重构快速算法 分析频率为fs信号经过n层的小波包分解后，频域共被分成2n 段。 小波包快速算法的三个关键的运算构成是： 1、与小波滤波器卷积； 2、隔点采样； 3、隔点插零。 小波包快速算法与Mallat算法的区别只是对每个尺度上高频部分的处理不同，在Mallat算法中，对各尺度上高频部分不再予以进一步分解，而在小波包快速算法中，对各尺度上的高频部分要再予以进一步分解。 因此。和小波变换相比，小波包具有更精细的信号分析能力，实际上无论是Mallat算法，还是小波包快速算法，都是基于多分辨率分析的，所以两者具有很强的共性就不足为怪了。 例8-5、一个分段的由频率为12Hz、37.2Hz、62Hz、82Hz的正弦信号和衰减信号成分组成的模拟响应信号，它的数学表达式为： 试用小波包变换法将其分解。 解：取采样频率为400Hz，采样点数为2048，原信号的时间历程曲线和经傅里叶变换的频谱图如图所示。 选择Daubechies小波db40，利用小波包变换来分析信号，分解层数为3层，信号被分解为5个分量，重构信号的时程曲线和傅里叶变换幅频曲线如图所示。 f=150Hz f=12Hz f=37.2Hz f=62Hz f=82Hz 从以上例题可知，小波包变换比小波变换的功能优越，其表现是它在这样的采样频率下可将62Hz和82Hz分解出来，而小波变换在这样的采样频率的情况下是做不到的。 但是小波包分量并不是严格按照频率由低到高的顺序排列的，可以通过人为选择或者编程序的方式来修正小波包分量的排序。 从上面的算例可以看出利用小波包变换可以轻松地对工程中的一些复杂信号进行分解。 8.7 小波分析的工程应用 在工程实际中，对于结构的损伤识别是一个重要的课题，定性来讲，结构损伤后其强度将降低，从而引起固有频率的降低，振型也要有所变化，虽然幅值变化不大，但在损伤点可出现振型曲率突变。但是由于损伤是局部问题，对整体的动态特性有影响，但它的损伤位置较难确定。 所以，小波分析在损伤识别中发挥了重要作用。参见书中的例题及有关科技文献。 小波分析在工程实际中还应用于以下几个方面：a、滤波；b、信号降噪；c、故障诊断及监测等； 但小波分析也存在以下几个缺点： (1)小波分析的结果不像傅立叶分析的频谱那样直观明了，对结果的分析需要相关人员有一定的小波分析理论基础。 (2)小波函数多种多样，在工程应用中如何选择合适的小波函数是难点。 (3)小波分析的实际应用较少，缺乏系统的方法和应用理论。 鉴于此，在应用中应该将它和其它方法相结合，力求对振动信号进行准确而有效的分析。 Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics (3) 将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后重复步骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C，直到覆盖完整个信号长度，如图所示： Theoretical Mechanics (4) 将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复步骤(1)、(2)、(3)，如图所示 (5) 对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。 Theoretical Mechanics 傅里叶变换与小波变换的过程示意图 Theoretical Mechanics 小波系数表示小波与信号相似的程度，小波系数越大，两者越相似。 小波系数的大小还反映了信号在这一频率中心周围的频率成分的多少，小波系数越大，信号在这一频率中心周围的频率成分就越多。