函数恒成立问题—参变分离法.docVIP

PAGE 5 学 科 数学 课题名称 函数恒成立问题——参变分离法 周次 教学目标 教学重难点 函数恒成立问题——参变分离法 一、基础知识： 1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围 2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。 3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。例如：，等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目） 4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式） （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 ③，则只需要 ，则只需要 ④，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理 （1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。 （2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。 二、典型例题： 例1：已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是_______ 思路：首先转化不等式，，即恒成立，观察不等式与便于分离，考虑利用参变分离法，使分居不等式两侧，，若不等式恒成立，只需，令（解析式可看做关于的二次函数，故配方求最值），所以 答案： 例2：已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________ 思路：恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法 解：，其中 只需要，令 （导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定的符号，不妨先验边界值） ，，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过程） 在单调递减，在单调递减 答案： 注意：求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号。 例3：若对任意，不等式恒成立，则实数的范围是 ． 思路：在本题中关于的项仅有一项，便于进行参变分离，但由于,则分离参数时要对的符号进行讨论，并且利用的符号的讨论也可把绝对值去掉，进而得到的范围，，当时，，而 ；当时，不等式恒成立；当时，，而 综上所述： 答案： 注意：（1）不等式含有绝对值时，可对绝对值内部的符号进行分类讨论，进而去掉绝对值，在本题中对进行符号讨论一举两得：一是去掉了绝对值，二是参变分离时确定不等号的是否变号。 （2）在求解析式最值时根据式子特点巧妙使用均值不等式，替代了原有的构造函数求导出最值的方法，简化了运算。 （3）注意最后确定的范围时是三部分取交集，因为是对的取值范围进行的讨论，而无论取何值，的值都要保证不等式恒成立，即要保证三段范围下不等式同时成立，所以取交集。 例4：设函数，对任意的恒成立，则实数的取值范围是________________ 思路：先将不等式进行化简可得：，即，便于进行分离，考虑不等式两边同时除以，可得： ，， 最小值，即解得： 答案： 注意：本题不等式看似复杂，化简后参变分离还是比较容易的，从另一个角度看本题所用不等式为二次不等式，那么能否用二次函数图像来解决呢？并不是一个很好的办法，因为二次项系数为关于的表达式且过于复杂，而对称轴的形式也不利于下一步的计算。所以在解题时要注意观察式子的结构，能够预想到