高校(理工类)数学留数教学(课堂讲义).pptVIP

四、典型例题 例1 求 在 的留数. 解 典型例题 例2 求 在 的留数. 分析 是 的三级零点 由规则3得 计算较麻烦. [例2] 如果利用洛朗展开式求 较方便: 解 [例2] 说明: 如 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时, 可直接展开洛朗级数求 来计算留数 . 2. 在应用规则2时, 取得比实际的级数高. 级数高反而使计算方便. 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将m 但有时把m取得比实际的 如上例取 典型例题 例3 求 在 的留数. 解 是 的四级极点. 在 内将 展成洛朗级数: 典型例题 例4 计算积分 C为正向圆周: 解 为一级极点, 为二级极点, [例4] 典型例题 [例5] 计算积分 C为正向圆周: 函数 在 的外部, 除 点外没有 其他奇点. 解 根据[定理2]与规则Ⅳ： [例5] 与以下解法作比较 : 被积函数 有四个一级极点 都 在圆周 的内部 , 所以 [例5] 可见，利用无穷远点的留数更简单. 由规则3 典型例题 例6 计算积分 C为正向圆周 : 解 除 被积函数 点外, 其他奇点为 则 [例6] 由于 与 1在C的内部, 所以 五、小结与思考 本节我们学习了留数的概念、计算以及留数 定理. 应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极 点处留数的求法, 并会应用留数定理计算闭路复 积分. 思考题 思考题答案： §5.2 留数 一、留数的引入及其定义 二、利用留数求积分 三、函数在无穷远点的留数 四、典型例题 五、小结与思考 一、留数的引入及其定义 设 为 的一个孤立奇点; 内的洛朗级数: 在 . 的某去心邻域 C：邻域内包含 的任一条正向简单闭曲线 留数的引入 0 (高阶导数公式) 0 (柯西-古萨基本定理) 留数的引入 1、留数的定义 设z0为函数f(z)的孤立奇点，那么积分 （其中，C为在z0的足够小邻域内且包含z0于其内部的任何一条正向简单闭曲线）为与C无关的定值。以2πi除这个积分的值，所得的数叫做f(z)在z0的留数，记作 （5.2.1） 留数的定义 很明显，（5.2.1）式右端的积分就是f(z)在以z0为中心的圆环域内的罗伦级数中负幂项c-1(z–z0)-1的系数。所以 Res [f(z), z0]=c-1 （5.2.2） 2、留数定理 关于留数，我们有下面的基本定理。 ?[定理5-2-1]（留数定理） 设函数f(z)在区域D内除有限个奇点z1, z2 , z3, …, zn外处处解析。C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么 （5.2.3） 留数定理证明 [证明] 把在C内的孤立奇点zi用互不包含的正向简单闭曲线Ci围绕起来（如图）。那么根据复合闭路定理有： 即 [证毕] 留数定理证明 . . . 以2πi除等式两边，得： 留数定理 利用留数定理，求沿封闭曲线C的积分，就转换为求被积函数在C中的各奇点处的留数。 由此可见，留数定理的效用有赖于如何能有效地求出f(z)在奇点z0处的留数。 一般说来，求函数在其奇点处的留数，只须求出它的罗伦级数中c-1(z–z0)-1项的系数c-1就可以了。但是如果能先知道奇点的类型，对求留数又是更为有利。 二、利用留数定理求积分 1、留数的计算方法 （1）如果z0是f(z)的可去奇点，那么Res [f(z), z0]=0，因为此时f(z)在z0的展开式是泰勒展开式，所以c-1=0。 （2）如果z0是本性奇点，那就往往只能把f(z)在z0即展开成罗伦级数的方法来求c-1。 （2）在z0是极点的情形，下面几个在特殊情况下求c-1的规则，都是很有用的。 2、留数的规则 规则I：如果z0为f(z)的一级极点，那末 （5.2.4） 规则II：如果z0为f(z)的m级奇点，那么 （5.2.5） [证明]：由于 以(z–z0)m乘上式的两端，有： 留数的计算规则 两边求m–1阶导数，得 令z→z0，两端求极限，右端的极限是(m–1)!c-1，根据(5.2.2)，除以(m–1)!就是Res [f(z), z0]，因此即得(5.2.5)；当m=1时就是(5.2.4)。 [证毕] +(含有