专题01 一次函数（教案）.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT 8 中小学个性化辅导 PAGE \* MERGEFORMAT 8 PAGE \* MERGEFORMAT 7 哈佛北大精英创立 PAGE \* MERGEFORMAT 7 专题1 一次函数（教案） 前言： 把函数称为一次函数，其中自变量的取值范围是任意实数。若，函数为正比例函数。 一次函数的图像是一条经过点和的直线。 一、专题知识 1. 基本公式 一次函数的解析式为，其中为常数项。 一次函数的图像是一条直线，其斜率为。 2. 基本结论 增减性：当时，一次函数的函数值随自变量的增大而增大；当时，一次函数的函数值随自变量的增大而减小。 对称性：一次函数图像上的任意一点都是函数图像的对称中心；特别地正比例函数的图像关于坐标原点中心对称。 含有绝对值的一次函数的图像是由若干条线段和射线组成的折线，作出它的图像的步骤：先将绝对值去掉，分成几个不含有绝对值的一次函数。 二、例题分析 例题1 已知O为坐标原点，一次函数的图像与轴、轴的交点分别为A、B， 且，求实数的取值范围。 【解】令，则；令，则，则 ， 整理得，， 解得，。 所以实数的取值范围是。 例题2 作出函数的图像。 【解】令，得；令，得。和将数轴分成三段，下面逐段讨论： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，。 所以，其图像如图1-1所示。 例题3 对于任意实数，一次方程所表示的直线恒经过点，求出点的坐标。 【解】将方程变形得， ， 根据多项式恒等的条件可得， , 解得， 所以点的坐标为。 例题4 如图1-2所示，直线与轴、轴分别相交于、，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，且，如果在第二象限内有一点满足条件：，求实数的值。 【解】令，得；令，得，所以、 即 所以。 ； 由于, 所以， 解得。 三、专题训练 专题练习 求函数的图像所围成的图形的面积。 【解】：当时，； 当时，； 当时，； 当时， 所以函数的图像所围成的图形是一个边长为的正方形，所求图形的面积为． 2. 已知直线与轴交点为，直线与轴交点为，直线与交点为，求经过线段的中点与点的一次函数解析式。 【解】：直线与轴交点为，直线与轴交点为，线段的中点．由，得点坐标为 　　设经过点与点的一次函数解析式为，则，即所求一次函数解析式为． 3. 已知一次函数，分别求出的值，使得满足下列条件： 随的增大而减小； 图像在第一、三、四象限； 图像在轴上的截距小于1； 图像过，求的值。 【解】：（1），解得，所以当时，随的增大而减小； （2）且，解得且，当且时，图像在第一、三、四象限； （3），，即且，图像在轴上的截距小于； （4）图像过和两点， 所求函数解析式为，当函数的图像过点时，解得． 4. 如图1-3所示，直线与轴、轴分别相交于、两点。 求、两点的坐标； 如果点在线段上，将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点，求直线对应的函数的解析式； 如果点在坐标轴上，以点为圆心，为半径的圆与直线相切，求点的坐标。 【解】：（1） ； （2） （3）第一种情况：当点在轴上且在点下方时，的坐标为； 第二种情况：当点在轴上且在点左侧时，的坐标为； 第三种情况：当点在轴上且在点右侧时，的坐标为； 第四种情况：当点在轴上且在点上方时，的坐标为； 综上所述：点的坐标为、、． 5. 已知是质数，是正整数，是否存在这样的一次函数，使得其同时满足下列两个条件： 图像经过点； 图像与轴、轴的交点分别为、。若存在，求出函数解析式；若不存在，说明理由。 【解】：假设存在满足条件的一次函数设其解析式为，则由题意得： 由于是正整数，所以是正整数，所以是负整数． 由得，，代入得， 因为 当时，不是质数，舍去； 当时，不是质数，舍去； 综上（1）、（2）可得满足条件的一次函数不存在． 6. 已知不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围。 【解】：将不等式变形为， 令，则恒成立，需满足的条件： ，所以实数的取值范围是． 7. 如图1-4所示，为等边三角形，其中，过点的直线与、分别相交于点、，若，求