东北大学概率论与数理统计第二章.pdfVIP

第2章 随机变量及其分布 2.1 随机变量 2.2 离散随机变量及分布律 2.3 随机变量分布函数 2.4 连续随机变量及概率密度 2.5 随机变量函数的概率分布 2.1 随机变量 2.1.1 随机变量的概念 随机变量是指取值随机会而定的变量， 它随着试验的不同结果而取不同的数值。 一个随机变量取值的规律称为它的 概率分布，简称 “分布”(distribution) 。 随机变量的分布包含两个部分： 取哪些值？取这些值相应的概率是多少？ 例2.1.1 抛掷均匀硬币两次，用X 表示 正面 H 出现的次数。 X = 0 ， 1 ， 2 试验结果 = {TT} ， {HT,TH} ， {HH} 相应概率 = 1/4 ， 1/2 ， 1/4 X 的概率分布也可以表格的形式表示： X 0 1 2 p 1/4 1/2 1/4 例2.1.2 在 n 重Bernoulli 试验中，事件A 出现 的次数X ；所有可能的值是 0 ，1，…，n 。 例2.1.3 独立重复试验直到 A 发生为止所需要 的试验次数X ；所有可能值是一切正整数。 例2.1.4 假设一个随机点从原点出发，每次在 数轴上都以 1/3 概率向左移一格，或者停留 原地，或者向右移一格，则 n 步移动后这个 随机点的位置X 是随机变量；它可能取 – n ~ + n 之间的任何一个整数。 例2.1.5 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 … ； 它所有可能的取值是一切非负整数。 例2.1.6 在一个区间中随机等可能取一个点 X ； X 可能取这个区间中任何一个数。 例2.1.7 在一批电子元件中随机抽取一只测试 它的寿命X ; X 可取任意一个非负的实数。 例2.1.8 一个物体的测量值与真实值的 误差 X ；X 可以取任意一个实数。 定义 设E 是随机试验，S 是它的样本空间， 如果对于每一个样本点  都有一个实数 与它对应，则称这个定义在样本空间上 的单值实函数X = X () 是一个随机变量。 S  0 X () x 通过引进随机变量的概念能够把不同的 样本空间抽象化为一些定量的实数，由此就 可以利用更高深的数学方法来研究随机现象。 其次，在随机变量的概率分布中我们关注 的重点是这个随机变量取某些值的概率，而 不是它的取值。就象我们只关心样本空间里 一些样本点发生的概率，而这些样本点本身 并不是研究的目的。 2.1.2 随机变量的基本分类 1. 离散随机变量：所有可能的取值是 有限、或可数无穷多个； 例如古典概率问题所涉及的随机变量。 2. 连续随机变量： 所有可能的取值是 不可数无穷，即在某个连续区间或整个 实数轴上取值。 例如几何概率问题所涉及的随机变量。 2.1.3 随机事件与随机变量关系 对任意的随机事件 A 都可以引进一个 离散随机变量来表示A 是否发生。