大学数学(高数微积分)第三章线性方程组第五节课件(课堂讲义).pptVIP

主要内容 线性方程组的向量表示形式 线性方程组有解判别定理 第五节 一般线性方程组的解法 线性方程组有解判别定理 线性方程组的求解步骤 在有了向量和矩阵的理论准备之后，我们现在 可以来分析一下线性方程组的问题，给出线性方程 组有解的判别条件. 设线性方程组为 一、线性方程组的向量表示形式 引入向量 于是线性方程组 (1) 可以改写成向量方程 x1?1 + x2?2 + … + xn?n = ? . (3) 显然，线性方程组 (1) 有解的充分必要条件为 向量 ? 可以表示成向量组?1 , ?2 , …, ?n 的线性组 合. 用秩的概念，这个条件可以叙述如下： 二、线性方程组有解判别定理 定理 7 线性方程组 (1) 有解的充分必要条件 为它的系数矩阵 与增广矩阵 有相同的秩. 证明 先证必要性. 设线性方程组 (1) 有解, 就是说， ? 可以经向量组 ?1 , ?2 , …, ?n 线性表出. 由此立即推出，向量组?1 , ?2 , …, ?n 与?1 , ?2 , …, ?n , ? 等价，因而有相同的秩. 这两个向量组分别 是矩阵 A 与 A 的列向量组. A 因此，矩阵 A 与 有相同的秩. 再证充分性. A 设矩阵 A 与 有相同的秩， 就 是说，它们的列向量组?1 , ?2 , …, ?n 与?1 , ?2 , …, ?n , ? 有相同的秩，令它们的秩为 r . ?1 , ?2 , …, ?n 中的极大线性无关组是由 r 个向量组成，无妨设 ?1 , ?2 , …, ?r 是它的一个级大线性无关组. 显然 ?1 , ?2 , …, ?r 也是 ?1 , ?2 , …, ?r , ? 的一个级大线 性无关组，因此向量 ? 可以经 ?1 , ?2 , …, ?r 线性 表出，它当然可以经?1 , ?2 , …, ?n 线性表出. 因此，方程组 (1) 有解. 证毕 三、一般线性方程组的解法 根据克拉默法则，可以得到一般线性方程组的 一个解法. 这个解法有时在理论上是有用的. 设线性方程组 (1) 有解，矩阵 A 与 A 的秩都 等于 r，而 D 是矩阵 A 的一个不为零的 r 级子式 A (当然它也是 的一个不为零的子式)，为了方便 起见，不妨设 D 位于 A 的左上角. 显然，在这种情况下， A 的前 r 行就是一个极 大线性无关组，第 r + 1 , … , s 行都可以经它们线 性表出. 因此，方程组 (1) 与 同解. 当 r = n 时，由克拉默法则，方程组(4)有唯一 解，也就是方程组 (1) 有唯一解. 当 r n 时，将方程组 (4) 改写为 方程组 (5) 作为以 x1 , x2 … , xr 为变量的一个方程 组，它的系数行列式 D ? 0. 由克拉默法则，对于 xr+1 , … , xn 的任意一组值，方程组 (5)，也就是方 程组 (1) ，都有唯一解. xr+1 , … , xn 就是方程组(1) 的一组自由未知量. 对 (5) 用克拉默法则，可以解 出 x1 , x2 … , xr ： (6) 就是方程组 (1) 的一般解. 上述一般线性方程组的求解方法，可归纳成以 下步骤： 例 1 解线性方程 解 首先我们来判别方程组是否有解. 把方 程组的增广矩阵化为行阶梯形 初等行变换 因为系数矩阵和增广矩阵的秩均为 2 ，所以方 程组有解. 它的一个同解方程组是 把 x1 , x5 取作非自由未知量，x2 , x3 , x4 当作自由未 知量，并把方程组变形成 解之得方程组的一般解为 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课,