专题06 多项式（教案）.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT 6 中小学个性化辅导 PAGE \* MERGEFORMAT 6 PAGE \* MERGEFORMAT 7 哈佛北大精英创立 PAGE \* MERGEFORMAT 7 专题6 多项式（教案） 前言： 由一些字母和数进行加减和乘法所构成的代数式叫做多项式。 一元多项式的一般式为。 一元多项式函数的一般式为。 一、专题知识 1. 基本定理 余式定理：多项式除以所得的余式为，； 一元多项式带余除法恒等式：其中或，、分别叫做多项式除以的商式、余式； 因式定理：多项式含有因式的充要条件是； 多项式含有因式的充要条件是其中，，，互不相等； 多项式函数定理：一个次多项式，可由它在取个不同值时的函数值惟一确定。 2. 基本结论 若多项式除以的商式为，余式为，则除以的商式为，余式仍为； 两个一元次多项式，相等的充要条件是，其中各不相同； 一元次多项式最多只有个不同的根； 使得一元多项式的值为零的自变量的值，称为这个一元多项式的根，即若，则称为多项式的根，或称为多项式的零点； 零多项式有无数个根，零次多项式没有根。 二、例题分析 例题1 已知求除以的商式和余式。 【解】 所以除以的商式为，余式为。 例题2 已知，，求除以的商式和余式。 【解】 所求的商式，余式为。 例题3 求证：多项式除以所得的余式是一个常数。 【证明】设除以的商式为，余式为常数，则有 令，则，即 所以多项式除以所得的余式是一个常数。 例题4 试求除以下列各式的商式和余式： （1） （2） 【解】先求出除以的商式和余式， 除以的商式为 , 余式为 除以的商式为 , 余式为 例题5 已知含有因式，试求、的值及的另一个因式。 【解】设，于是 由待定系数法可求得：，，， 的另一个因式为。 三、专题训练 专题练习 把多项式分解因式。 求一个二次多项式，使它满足：且。 已知，，，试求三次多项式的表达式。 若除以的余数为4，试求多项式除以的余数。 若含有因式，试求的值及的其余因式。 若对于多项式有，，试求除以所得的余式。 已知恒等式，试求的值。 若被整除，试求常数的值。 若对于任意的都成立，且是四次多项式，试求的表达式。 求证：当时，。 专题作业 分解因式 已知含有因式，且，试求的值及的另一个因式。 证明恒等式：。 参考答案 专题练习： 1.解：由于，所以含有因式，除以的商为，所以。 2.解：设 由于，则 所以，即 3、解：设，由题设条件得 即，解得 所以 4、解：设，则除以的余数为 由于，所以 所以多项式除以的余数为20 5、解：有已知条件得，即 ，解得 6、解：设，由于，，所以，解得 所以除以所得的余式 7、解：由得： 所以逐次除以所得的余数分别为的值，最后的商就是, 所以。 8、解：由题意得，，所以，解得 9、解：设，由于，，，， 分别代入可得，解得 所以 10、证明：设， 由于，因此是一个不高于次的多项式，是次多项式 ，，，所以，即原式得证。 专题作业 1、解： 2、解：由于含有因式且，则有， 即，解得 所以，另一个因式为。 3、证明：所证明的恒等式等价于 设 由于