专题16 圆与正多边形（教案）.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT 1 哈佛北大精英创立 PAGE \* MERGEFORMAT 1 专题16 圆（教案） 前言： 圆是平面内到定点距离等于定长的点的轨迹，其中顶点叫做圆的圆心，定长叫做圆的半径。圆既是中心对称图形，也是轴对称图形。由圆的特性引出了许多的结论和重要的定理，如同圆或等圆的圆心角和圆周角的倍数关系、垂径定理、切割线定理、圆幂定理等。 一、专题知识 1.基本公式 （1）圆的面积（其中圆的半径为） （2）圆的周长（其中圆的半径为） 2.基本结论 （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心； （2）圆是轴对称图形，任意通过圆心的直线都是它的对称轴； （3）垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧； （4）在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等； 二、例题分析 例题1 如图16-1，已知半径为的⊙的两条平行弦，，且和间的距离为,求的值。 【解】作于，延长交于， 连接 因为,所以，即 ， 令，则（其中） 解得所 以 例2 如图16-2所示，是⊙的半径，是上任意一点，和是经过点的两条弦，且，求证： 【解】过作垂足为，垂足为， 在直角和直角 , 可得直角直角 所以 从而有成立。 例3 如图16-3,所示，梯形中，，BC为⊙的直径，且,求证：与⊙相切。 【解】因为，所以梯形是直角梯形 过作垂足为E，则是直角梯形的腰 的中点 所以是直角梯形的中位线，则 由已知条件 所以，且是⊙的直径 即是的⊙半径，所以与⊙相切 例4 如图16-4所示，已知的面积为，内切圆的半径为，三边长分别为，使用的代数式表示。 【解】连结，过作于、 于，于 ∵⊙是的内切圆 ∴是切点 ∴ ∴ 三、专题训练 专题练习 如图16-5所示，已知AB是⊙的直径，是⊙的内切线，切点为，平行于弦，求证：是⊙的切线。 如图16-6所示，已知，，求三个顶点到内切圆的切线长。 如图16-7所示，已知直线和⊙相切于点，AB是⊙的一条直径，两点到的距离各为和，求⊙的直径。 如图16-8所示，AB是⊙的直径，为延长线上一点，切⊙于点，过点的切线和相交于点，与延长线相交于点 （1）求证：是等腰三角形。 （2）若时，求的值。 如图16-9所示，点是⊙外一点，过向⊙作两条 切线，切点分别为，已知⊙的半径为1，根据下列 条件，求出的长： （1） （2） 如图16-10所示，点在⊙的直径的延长线上，，切⊙于点，连结。 求的正弦值； 若⊙的半径，求的长度。 如图16-11所示，是⊙的弦是的中点，和⊙相交于点，已知，求⊙的半径。 AB是⊙的切线，为切点，是⊙的弦，过作于点，若 求（1）⊙的半径； 的值 如图16-12所示，为⊙的直径，弦于点，过点作,交的延长线与点，连结。 （1）求证BE是⊙的切线； （2）如果，求⊙的直径。 如图16-13所示，是⊙的直径，是弦，于，交 eq \o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC)) 于。 （1）请写出五个不同类型的结论； （2）若，求⊙的半径。 专题作业 如图16-14所示，已知：内接于⊙，点在的延长线上，。 （1）求证：是⊙的切线； （2）若，求的长。 如图16-15所示，是⊙的内接三角形，，为⊙中 eq \o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB)) 上一点。延长至点，使。 求证：; 若,求证：。 如图16-16所示，是以为直径的⊙上一点，于点，过点作⊙的切线，与的延长线相交于点，是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点。 求证：； 求证：是⊙的切线； 若，且⊙的半径长为，求 和的长度。 四、参考答案 专题练习 1.解：连接， 所以 由于 所以 由于是的切线，则 所以，即是的切线。 2.解：设的三边分别与内切圆相切于三点，由于从圆外一点引圆的两条切线长相等。 ∴ 设，则可得到： ，解得 答：三个顶点到内切圆的切线长分别为 3解:连接，由题意可知因为直线和相切于点 所以 为的中点 所以是直角梯形的中位线 所以的直径 解：连接 是直径 是的切线 5,解:(1)连接得,在中 得. 连接得在中，得 ,由勾股定理可得 解：（1）连结 ，因为 切于点， 又直径, .(或：在) 连结，由是直径 又,是正三角形 ， 7，解：延长交于点，则为的直径，由相交弦定理可得 所以 解得,所以的半径 8解:(1)是的切线 , , （1）证明： 又为的直径， 为的切线 为的直径， 弧=弧 ,的直径