大学数学(高数微积分)第一章多项式第五节课件(课堂讲义).pptVIP

主要内容 引入 不可约多项式 第五节 因式分解定理 因式分解及唯一性定理 二、不可约多项式 在下面的讨论中，仍然选定一个数域 P 作为系 数域，我们考虑数域 P 上的多项式环 P[x] 中多项 式的因式分解. 1. 定义 定义 8 数域 P 上次数 ? 1 的多项式 p(x) 称为 域 P 上的不可约多项式，如果它不能表成数域 P 上两个次数比 p(x) 的次数低的多项式的乘积. 按照定义，一次多项式总是不可约多项式. 正如上面指出的，x2 + 2 是实数域上的不可约 多项式，但是它在复数域上可以分解成两个一次多 项式的乘积，因而不是不可约的这就说明了，一个 多项式是否不可约是依赖于系数域的. 显然，不可约多项式 p(x) 的因式只有非零常 数与它自身的非零常数倍 cp(x) (c ? 0) 这两种，此 外就没有了. 反过来，具有这个性质的次数 ? 1 的 多项式一定是不可约的. 由此可知，不可约多项式 p(x) 与任一多项式 f (x) 之间只可能有两种关系，或 者 p(x) | f (x) 或者 ( p(x) , f (x) ) = 1 . 事实上，如果 ( p(x) , f (x) ) = d(x) ，那么 d(x) 或者是 1 或者是 cp(x) (c ? 0) . 当 d(x) = cp(x) 时，就有 p(x) | f (x) . 不可约多项式有下述的重要性质. 2. 性质 定理 5 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于 任意的两个多项式 f (x) , g(x) ，由 p(x) | f (x) g(x) 一 定推出 p(x) | f (x) 或者 p(x) | g(x) . 证明 如果 p(x) | f (x) ，那么结论已经成立. 如果 p(x) | f (x) ，那么由以上的说明可知 ( p(x) , f (x) ) = 1 . 于是由 即得 p(x) | g(x) . 证毕 利用数学归纳法，这个定理可以推广为：如果 不可约多项式 p(x) 整除一些多项式 f1(x) , f2(x) , … , fs(x) 的乘积 f1(x) f2(x) … fs(x) ，那么 p(x) 一定整除 这些多项式之中的一个. 下面来证明这一章的主要定理. 三、因式分解及唯一性定理 因式分解及唯一性定理 次数 ? 1 的多项式 f (x) 都可以唯一地分解成数域 P 上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说 , 如 果有两个分解式 f (x) = p1(x) p2(x) … ps(x) = q1(x) q2(x) … qt(x) , 那么必有 s = t , 并且适当排列因式的次序后有 pi(x) = ci qi(x) , i = 1 , 2 , … , s , 其中ci (i = 1 , 2 , … , s ) 是一些非零常数. 数域 P 上每一个 证明 先证分解式的存在性. 我们对 f (x) 的 次数作归纳法. 因为一次多项式都是不可约的，所以 n = 1 时 结论成立. 设 ? ( f (x) ) = n , 并设结论对于次数低于 n 的 多项式已经成立. 如果 f (x) 是不可约多项式，结论是显然的 , 不 妨设 f (x) 不是不可约的，即有 f (x) = f1(x) f2(x) ， 其中 f1(x)， f2(x) 的次数都低于 n . 由归纳法假设 f1(x) 和 f2(x) 都可以分解成数域 P 上一些不可约多 项式的乘积. 把 f1(x)， f2(x) 的分解式合起来就得到 f (x) 的一个分解式. 由归纳法原理，结论普遍成立. 再证唯一性. 设 f (x) 可以分解成不可约多项式 的乘积 f (x) = p1(x) p2(x) … ps(x) . 如果 f (x) 还有另一个分解式 f (x) = q1(x) q2(x) … qt(x) , 其中 qi(x) ( i = 1 , 2 , … , t ) 都是不可约多项式, 于是 f (x) = p1(x) p2(x) … ps(x) = q1(x) q2(x) … qt(x) . (1) 我们对 s 作归纳法. 当 s = 1 ， f (x) 是不可约 多项式，由定义必有 s = t = 1 , 且 f (x) = p1(x) = q1(x) . 现在设不可约因式的个数为 s - 1 时唯一性已证. 由 f (x) = p1(x) p2(x) … ps(x) = q1(x) q2(x) … qt(x) 得 p1(x) | q1(x) q2(x) … qt(x)， 因此， p1(x) 必能除尽其中的一个，无妨设 p1(x) | q1(x) . 因为 q1(x) 也是不可约多项式，所以有 p1(x) = c1q1(x