大学微积分总复习课件.pptVIP

需熟悉的内容(特别是三角函数) 第二部分函数与极限 无穷大量与无穷小量的关系 总结：求极限的方法 1. 求连续函数的极限：直接代入法; 2. 求x趋于点a时分式的极限，先判断分母的极限： (1)分母极限不为0，直接代入点a得分式极限； (2)分母极限为0, 分子极限不为0, 原极限为无穷大； (3)分子和分母的极限都为0, 采用洛比塔法则求原极限. 3. 求两个根式相减的极限时，先有理化. 有时可转化为两个重要极限来求. 4.若一个函数在某点的极限为振荡极限，但该函数为有界函数，则该函数与一个无穷小的乘积是无穷小. 第二部分一元函数微分学 二、隐函数及其导数 微分的定义 洛比塔法则 适用范围： 单调性的判别法 曲线凹凸性的判定 导数及最值在经济学中的应用 1. 成本函数, 收入函数, 利润函数 2. 边际分析 3. 弹性 4 求最大利润，最小平均成本等最值问题 要求: 会求各种函数, 并理解相应的经济意 义；会求经济学中的最值问题。 一元函数积分学 一、原函数与不定积分的概念 最后预祝大家： 考出好成绩！顺利过关！ 另，有个别同学平时作业较少或未交的, 将扣平时分. 基本积分表 ? 是常数); 说明： 推论：在闭区间上连续的函数必取得 介于最大值M与最小值m之间的任何值. 三个定理的应用： 注 ①方程f(x)=0的根 函数f(x)的零点 ②有关闭区间上连续函数命题的 证明方法 10直接法：先利用最值定理, 再利用 介值定理; 20间接法（辅助函数法）：先作辅助 函数, 再利用零点定理. 辅助函数的作法 （1）将结论中的ξ(或x0或c)改写成x; （2）移项使右边为0，令左边的式子为 F(x), 则F(x)即为所求. 区间一般在题设中或要证明的结论 中已经给出，余下只须验证F(x)在所讨 论的区间上连续，再比较一下两个端点 处的函数值的符号，或指出要证的值介 于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小 值之间. 其它形式 一、导数的定义 注意: 2. 导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数. ★ 单侧导数 1. 左导数: 2. 右导数: ★ 例 解 导数的几何意义 法线方程为 切线方程为 法线方程为 切线方程为 法线方程为 注 链式法则——“由外向里， 逐层求导”. 2. 注意中间变量. 推广 求导的方法 隐函数 因变量与自变量的对应法则用一个 方程表示的函数.即 方法：对隐函数直接求导. 注意此时y=y(x),只要方程中某项含有y, 则求导后这一项一定含有 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. ——目的是利用对数的性质简化求导运算. --------对数求导法 会求函数的微分, 微分与可导的关系， 一阶微分形式不变性。. 拉格朗日(Lagrange)中值定理 即：函数之比的极限等于导数之比的极限. 注意：洛必达法则与其它求极限方法结合使用效果更好，比如能化简先化简，利用等价无穷小替换等. 导数为正，则函数单调增； 导数为负，函数单调减. 利用单调性证明不等式 ①将要证的不等式作恒等变形（通常是 移项), 使一端为0, 另一端即为所作的辅助 函数f(x) ②求 验证f(x)在指定区间上的单调性 ③与区间端点处的函数值或极限值作 比较即得证. 注：有时无法判别 的符号，则可先 讨论 的符号，再转到上述第二步. 函数的二阶导数大于0,曲线为凹函数；若小于0, 则为凸函数. 确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤: 求极值的步骤: 求最值的步骤: （3) 如果已知最值存在，比较在端点、驻点 和导数不存在的点的函数值。另外，还可以根据在整个定义域上函数的一（二）阶导数的符号来判断. 第三部分 定义： 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可. 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. * 第一部分 初等函数 一、基本初等函数 1. 幂函数 2. 指数函数 3. 对数函数 4. 三角函数 正弦函数 (注意：x用弧度表示) 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 三角函数常用公式(前5个必须记下来) 5. 反三角函数: 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. 单侧极限 左极限: 右极限: 定理 . 极限存在的充要条件是左极限等于右极限. 无穷大包括：正无穷大，负无穷大． 两个重要极限 定义: 例如, 常用等价无穷