函数恒成立、能立问题及课后练习(含答案).docVIP

第 PAGE \* MERGEFORMAT 12 页 第 PAGE \* MERGEFORMAT 12 页 PAGE PAGE 12 恒成立、能成立问题专题 一、基础理论回顾 1、恒成立问题的转化：恒成立； 2、能成立问题的转化：能成立； 3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M 另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若 在D上恰成立，则等价于在D上的最大值. 4、设函数、，对任意的，存在，使得，则 5、设函数、，对任意的，存在，使得，则 6、设函数、，存在，存在，使得，则 7、设函数、，存在，存在，使得，则 8、若不等式在区间D上恒成立，等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方； 9、若不等式在区间D上恒成立，等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方； 二、经典题型解析 题型一、简单型 例1、已知函数，，其中，． 1）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（构造新函数） 2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（转化） 简解：（1）由成立，只需满足的最小值大于即可．对求导，，故在是增函数，，所以的取值范围是． 例2、设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的范围． 分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决． 方法1：化归最值，； 方法2：变量分离，或； 方法3：变更主元（新函数），， 简解：方法1:对求导，，（单调函数） 由此可知，在上的最大值为与中的较大者． ，对于任意，得的取值范围是． 例3、已知两函数，，对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为 答案： 题型二、更换主元和换元法 例1、已知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数，(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若上恒成立，求的取值范围； (Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。(Ⅱ)略解：由(Ⅰ)知：，，在上单调递减，在上恒成立，，只需，（其中）恒成立，由上述②结论：可令,则，，而恒成立，。 例2、已知二次函数对恒有，求的取值范围。 解： 对恒有即变形为 当时对任意的都满足只须考虑的情况 即 要满足题意只要保证比右边的最大值大就行。 现求在上的最大值。令 （） 所以 又是二次函数所以且 例3、对于满足0a4的所有实数a求使不等式都成立的x的取值范围 答案： 或 题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来） 此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则. 例1、当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 解析: 当时，由得.∴. 例2、已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数. （Ⅰ）求的值与的范围； （Ⅱ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围. （Ⅲ）若，试讨论关于的方程的根的个数. 解：（Ⅰ）、（Ⅲ）略 （Ⅱ）由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立 题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）） 例1、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是________ 解析： O O 对,不等式恒成立、则由一次函数性质及图像知，即。 例2、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。 解：画出两个凼数和在上的图象 如图 x x y 0 3 知当时， 当时总有所以 O O 例4、已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是 题型五、其它（最值）处理方法 若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上； 若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的. 利用不等式性质 1、存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为______。 解：设，由有解，， 又，∴，解得。 2、若关于的不等式恒成立，试求a的范围 解：由题意知只须a比的最小值相同或比其最小值小即可，得 由 所以 利用分类讨论 1、已知函数在区间[-1，2] 上都不小于2，求a的值。 解：由函数的对称轴为x=a 所以必须考察