专题04 函数的最大、最小值（教案）.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT 4 中小学个性化辅导 PAGE \* MERGEFORMAT 4 PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 5 1 哈佛北大精英创立 专题4 函数的最大、最小值（教案） 前言： 一般地，设函数在处的函数值是，如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数的最小值，记作；如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数的最大值，记作。 一、专题知识 1. 基本公式 二次函数 当时，当时，； 当时，当时，。 若，则（当且仅当时，等号成立） 当为定值时，； 当为定值时，。 2. 基本结论 一次函数 当时，； 当时，。 二、例题分析 例题1 若，求函数的最小值。 【解】将配方得， 由于（当且仅当时，等号成立）， （当且仅当时，等号成立） 所以当时，函数的最小值为 例题2 已知函数（其中），求函数的最小值。 【解】由于， 所以， 于是 所以。 例题3 若关于的方程的两个实数根分别为，求的最小值。 【解】 由题意得 即， 解得 ， 设，则 当时，；当时，。 所以，当时，；当时，。 例题4 求函数的最大值、最小值。 【解】 将方程变形为， 此方程可以看作为关于的方程，于是 （1）当时，方程变为，此时方程有解。 （2）当时，实数存在，所以解得 由（1）、（2）可得，，当时，；当时，。 所以函数的最大值为、最小值为。 三、专题训练 专题练习 已知,且,求的最小值。 求函数的最大值。 求函数的最小值。 求函数的最大值。 函数在区间上得最大值为，最小值为，求实数的取值范围。 求函数的最小值。 已知关于正整数的二次式（为实数），若当且仅当时，函数有最小值，求实数的取值范围。 求函数的最小值。 设实数满足方程，求的最小值。 10. 函数在区间上的最小值记为。 （1）求的解析式； （2）求的最大值。 专题作业 已知，求函数。 求函数的最小值。 设为实数，函数，求函数的最小值。 四、参考答案 专题练习 解：设，（其中），则 （当且仅当时，等号成立） 所以当，时，的最小值为. PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 7 2 哈佛北大精英创立 解：由于函数 所以当时，函数。 解：根据绝对值的几何意义，可知表示数轴上的点带点与的距离之和，所以设在数轴上对应的点为，在数轴上对应的点为，所以当实数在线段上运动时，的最小值为，故函数。 解：函数的定义域为，且函数在定义域内是增函数，所以当时，。 解： 解： 可以看作点,所以与之间的距离即为函数的最小值，所以 解：由于对于实数，对称轴为 由已知条件可知，当时，当且仅当时，函数有最小值 所以实数的取值范围是。 解：函数变形为 必有，否则方程不成立 所以 解得，当时， 所以当时，函数。 解：方程变形为 令则 ，消去得， 则方程有等根，所以 解得，所以的最小值为。 解：（1） （2） 专题作业 解： 当时，； 当时，。 解： 当时， 解：