经济数学_中国农业大学_中英课件.pptVIP

专题一:雅可比矩阵Topic1: Jocobi Matrix 雅可比矩阵 Jocobi Matrix 函数 f :Rm Rn, f (x)= (f 1 (x) , f 2 (x), …, f n (x))T ,下面矩阵称为雅可比矩阵。 雅可比矩阵 Jocobi Matrix 效用函数为 u(x1, x2, …, xn) 价格向量 p=(p1, p2, …, pn) T x=(x1, x2, …, xn) T 收入 y, 在均衡状态下： 雅可比矩阵 Jocobi Matrix 雅可比矩阵 Jocobi Matrix 雅可比矩阵 Jocobi Matrix 雅可比矩阵 Jocobi Matrix 海森矩阵 Hessian Matrix 隐函数定理 Implicit Function 如果 (1) 函数F (x,y)在(x0,y0)附近连续， (2)偏导数Fx (x,y)和Fy (x,y) 存在且连续， (3)F (x0,y0)＝0， (4) Fy (x0,y0) ≠0， 则 F (x,y)＝0唯一确定一个隐函数 y=f (x) ,使得 隐函数定理 Implicit Function F (x, f (x))≡0，且f ( x0)＝ y0 f (x) 连续， f (x) 有连续导数且 隐函数 函数 f :Rm Rn, mn f (x)= (f 1 (x) , f 2 (x), …, f n (x))T , 如果 f 是线性函数，该系统表现为： 隐函数 或Ax=y ,如果A的秩是n，可以得到： 隐函数 推广－隐函数定理 隐函数定理：如果 mn，函数 f 可微，雅可比矩阵的秩为n, 则存在n个可微函数使得， 需求函数的存在性 在前面效用函数的例子中，把价格和收入作为给定变量，则雅可比行列式为 需求函数的存在性 如果假设效用函数符合边际效用递减的性质，可以证明雅可比矩阵秩为n+1，根据隐函数定理， 可以表示为价格和收入的函数。 要素需求函数的存在性 生产函数为 f (x1, x2, …, xn) 生产要素价格向量 w=(w1, w2, …, wn) T 给定成本 c, 要素需求函数的存在性 则雅可比行列式为 要素需求函数的存在性 如果函数f的海森矩阵非奇异，可以证明上述雅可比矩阵也非奇异，根据隐函数定理， 可以表示为价格和成本的函数。 反函数 Inverse Function 当n=m，如果存在g 使得 g称为 f 的反函数 如果雅可比矩阵秩为n，则反函数存在 专题二: 凹函数、凸函数Topic2: Concave and Convex Function 回顾：凹函数 Concave 凹函数：集合S为凸集，?x1、x2 ?S，??(0,1), 有 f (? x1 ＋ (1-?) x2) ? ? f (x1)＋ (1-?) f ( x2) 凹函数另一定义 凹函数：集合S为凸集，?x1、x2 ?S，有 f ( x2) ? f (x1)＋ f (x1) (x2 － x1) 回顾：凸函数 Convex 凸函数：集合S为凸集，?x1、x2 ?S，??(0,1), 有 f (? x1 ＋ (1-?) x2) ? ? f (x1)＋ (1-?) f ( x2) 凸函数另一定义 凸函数：集合S为凸集，?x1、x2 ?S，有 f ( x2) ? f (x1)＋ f (x1) (x2 － x1) 函数凹凸性与海森矩阵 如果函数 f 二次连续可微，当且仅当函数 f 的海森矩阵半正定，函数 f 是凸函数； 如果函数 f 二次连续可微，当且仅当函数 f 的海森矩阵半负定，函数 f 是凹函数； 如果一个函数 f 的海森矩阵负（正）定，函数 f 是严格凹（凸）函数。但是，反之不成立。严格凹函数的海森矩阵在某些点可能是奇异的。 函数的严格凹（凸）文献阅读：P143-4 函数凹凸性判断练习 检验下列函数的凹凸性 专题三: 拟凹函数、拟凸函数Topic 3: Quasi-Concave and Quasi-Convex Function 上等值集与下等值集 设函数 f ：S?Rn