东北大学概率论与数理统计第三章.pdfVIP

第3章 多维随机变量及分布 3.1 二维随机变量及分布 3.2 边缘分布与条件分布 3.3 随机变量的独立与函数分布 3.1 二维随机变量及分布 3.1.1 随机向量的定义 随机向量主要用来描述用一维随机变量 不能完全刻划的随机现象。 例如，随机地抽出一张扑克牌：它具有 花色与点数这两个离散随机属性； 导弹的落点与目标之间的误差：由两个 连续随机变量组成的二维随机向量。 1. 二维随机变量 X 、Y 都是定义在同一样本空间中的随机变量， 它们构成的向量(X ,Y) 就称为一个二维随机变量。 随机向量(X ,Y) 的概率性质除了与每个分量 有关外，还依赖于这些分量之间的相互关系。 2. n维随机变量 定义在同一样本空间中的 n 个随机变量 X 1 ,X2 ,…,Xn 构成的向量( X 1 ,X2 ,…,Xn ) 。 3. 二维随机变量的分布函数 (1) 联合分布函数 对任意两个实数 x 、y ，二元函数 F (x ,y ) = P { X ≤x ,Y ≤y } 称为随机向量 (X ,Y) 的分布函数，或者 也称随机变量 X 、Y 的联合分布函数。 联合分布函数是随机向量性质的完整刻划， 本质上是两个随机事件交事件的概率。 (2) 利用联合分布函数计算概率 P { x ＜X ≤x ,y ＜Y≤y } 1 2 1 2 = F (x2 ,y 2 ) + F (x 1 ,y 1 ) y - F (x 1 ,y 2 ) - F (x2 ,y 1 ) y 2 - + y 1 + - o x x x 1 2 例3.1.1 已知(X ,Y) 的联合分布函数是： x y , 当 0 ＜x ,y ＜1 x ，当 0 ＜x ＜1，y ≥1 F (x ,y ) = y ，当 0 ＜y ＜1，x ≥1 1 ， 当 x ≥1 ，y ≥1 0 ， 其它 计算 X 、Y 至少有一个大于 0.4 的概率。 解. 需要计算 P { (X ＞0.4) ∪(Y ＞0.4) } ， 利用对立事件的概率公式， p = 1 - P { (X ≤0.4) ∩(Y≤0.4) } = 1 - F (0.4,0.4) = 1- 0.4 ×0.4 = 0.84 。 □ (3) 联合分布函数的性质 1º F (x ,y ) 是变量x 和y 的不减函数； 2º 0≤F (x ,y ) ≤1，且对于任意固定的x 和y 分别有， F x, 0,F , y 0,  