大学数学(高数微积分)第六章线性空间第五节课件(课堂讲义).pptVIP

主要内容 定义 第五节 线性子空间 非空子集构成子空间的条件 向量组生成的子空间 一、定义 定义 13 数域 P 上线性空间 V 的一个非空子 集合W 称为 V 的一个线性子空间(或简称子空间), 如果 W 对于 V 中所定义的加法和数量乘法两种运 算也构成数域 P 上的线性空间. 二、非空子集构成子空间的条件 下面我们来分析一下，一个非空子集合要满足 什么条件才能成为子空间. 设 W 是 V 的子集合. 因为 V 是线性空间. 所 以对于原有的运算，W 中的向量满足线性空间定 义中的 中的规则 1) , 2) , 5) , 6) , 7) ,8) 是显然的. 为了使 W 自身构成一线性空间，主要 的条件是要求 W 对于 V 中原来运算的封闭性，以 及规则 3) 与 4) 成立. 即 1. W 对数量乘法运算封闭，即若 ? ?W, k ?P, 则 k? ? W . 2. W 对加法运算封闭，即若 ? ?W, ? ?W，则 ? + ? ? W. 3. 0 ? W. 4. 若? ?W, 则 - ? ?W. 不难看出 3, 4 两个条件是多余的，它们已经包 含在条件 1 中，作为 k = 0 与 -1 这两个特殊情形. 因此，我们得到 定理 3 如果线性空间 V 的非空子集合 W 对 于 V 的数量乘法和加法两种运算是封闭的，那么W 就是一个子空间. 既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面 我们引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可 以应用到线性子空间上. 因为在线性子空间中不可 能比在整个空间中有更多数目的线性无关的向量. 所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空 间的维数. 下面来看几个例子. 例 1 在线性空间中，由单个的零向量所组成 的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间. 例 2 线性空间 V 本身也是 V 的一个子空间. 在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两 个子空间有时候叫做平凡子空间，而其它的线性 子空间叫做非平凡子空间. 例 3 在全体实函数组成的空间中，所有的实 系数多项式组成一个子空间. 例 4 P[ x ]n 是线性空间 P[ x ] 的子空间. 例 5 在线性空间 P n 中，齐次线性方程组 的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐 次线性方程组的解空间. 解空间的基就是方程组 的基础解系，它的维数等于 n - r , 其中 r 为系数矩 阵的秩. 例 6 判断下列子集是否为给定线性空间的子 空间，并说明其几何意义. 例 7 证明集合 W = { (0 , x2 , x3 , … , xn ) | x2 , x3 , … , xn ? R } 是 Rn 的子空间，并求它的一组基，确定它的维. 三、向量组生成的子空间 1. 定义 定义14 设 ?1 , ?2 , … , ?r 是线性空间 V 中 一组向量，这组向量所有可能的线性组合 k1?1 + k2?2 + … + kr?r 所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因 而是 V 的一个子空间，这个子空间叫做由?1 , ?2 , … , ?r 生成的子空间，记为 L (?1 , ?2 , … , ?r ) . 2. 性质 定理 4 1) 两个向量组生成相同子空间的充 分必要条件是这两个向量组等价. 2) L (?1 , ?2 , … , ?r ) 的维数等于向量组 ?1 , ?2 , … , ?r 的秩. 证明 1) 设 ?1 , ?2 , … , ?r 与 ?1 , ?2 , … , ?s 是两个向量组. 如果 L (?1 , ?2 , … , ?r ) = L (?1 , ?2 , … , ?s ) , 那么每个向量 ?i ( i = 1 , 2, … , r ) 作为 L (?1 , ?2 , … , ?s )中的向量都可以被 ?1 , ?2 , … , ?s 线性表出; 同样每个向量 ?j ( j = 1 , 2, … , s ) 作为 L (?1 , ?2 , … , ?r ) 中的向量也都可以被 ?1 , ?2 , … , ?r 线性表 出，因而这两个向量组等价. 如果这两个向量组等价，那么凡是可以被 ?1 , ?2 , … , ?r 线性表出的向量都可以被 ?1 , ?2 , … , ?s 线性表出，反过来也一样，因而 L (?1 , ?2 , … , ?r ) = L (?1 , ?2 , … , ?s ) . 2) 设向量组 ?1 , ?2 , … , ?r 的秩是 s , 而 ?1 , ?2 , … , ?s ( s ? r ) 是它的一个极大线性无关组.