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§3.1 函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
函数逼近问题 : 对于函数类 A 中给定的函数 f (x ), 要求在
另一类较简单的便于计 算的函数类 B A 中找一个函数
p x p x f x
( ), 使 ( )与 ( )的误差在某种度量意义 下达到最小 .
注：函数类 A 通常是 [a,b] 上的 连续函数，记作C[a,b] ，称为连续函数空间。
函数类 B 通常是 n 次多项式，有理函数或分段低次多项式。
定义1 设集合S 是数域P上的线性空间，元素x , x , , x S ,
1 2 n
如果存在不全为零的数 使得
1 , 2 , , n P ,
， （ ）
x x x 0 1.1
1 1 2 2 n n
则称x , x , , x 线性相关. 否则, 称x , x , , x 线性无关.
1 2 n 1 2 n
若x 1 , x 2 , , x n 线性无关 ，且对任意x S , 都有
x x x x
1 1 2 2 n n
则记 S span{ x , x ，, x }
1 2 n
设H 是次数不超过n次的多项式的集合,则H span 1，x ,..., x n ,
n n
p (x ) H p (x ) a x n a x n1 ... a x a .
n 0 1 n1 n
更一般的函数逼近问题 :
( ) [ , ], *( ) span{ , , },
对f x C a b 求 x 0 n
( ) *( ) .
使得误差 在某种度量意义下最小 其中
f x x
, , [ , ] .
C a b 线性无关
0 n
二、范数与赋范线性空间
如果存在唯一实数 ，满足条件
义2 是线性空间， ，
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