材料力學軸向負戴.PPT

第4章 軸向負戴 * 普林斯頓 版權所有 普林斯頓 版權所有 　　將討論如何求出這些構件的變形，以及當這些反力無法由平衡方程式直接求出時，導出求支撐反力的方法。熱應力效應、應力集中、非彈性變形及殘留應力等的分析也將會討論到。 98 4.1　聖維南定理 (Saint-Venant’s principle) 　　局部變形會發生在各端。當量測點取在越遠離兩端點時此效應會減少。 98 98 考慮圖4-1(b) 所示的各截面 a - a , b - b 及 c - c 上應分佈的變化情形。 因為 c - c 截面足夠的遠離 P 作用點，故由 P 所導致的局部變形就消失不見了。從端點算起能不產生局部變形的最小距離可利用彈性理論的數學方法算得。 一般規則，我們可視此距離最小須等於受負載截面最大尺寸。 聖維南定理 (Saint-Venant’s principle)，這是由法國科學家聖維南 (Barré de Saint-Venant) 於1855年首先提出。基本上此定理的陳述為物體上充份遠離力作用區域的點上的應力與應變將會與作用在物體相同區域並有相同靜態等價合力的任何負載所造成的應力與應變相同。 當我們在研究物體上充份遠離力作用點的截面上的應力分佈時，我們不必考慮因力作用點或支承所造成的複雜應力分佈。 99 4.2　軸向負載構件的彈性變形 在此我們希望能夠找到由於此負載的作用，一端相對於另一端的相對位移 ? (delta)。 一微分元素長 dx 面積 A(x) 從桿子的任意位置 x 分離出來。 　 99 元素的應力及應變為 　 及 假設這些值不超過比例限，我們可用虎克定律找到關係 100 ?其中 ? = 桿子一點相對於另一點的位移 L = 兩點間的距離 P(x) = 截面上的內部軸向力，從端點算起距離 A(x) = 桿子的截面積，以 x 的函數表示 E = 材料的彈性模數 (4-1) 100 固定負載及截面積 　 　 在許多情況，桿子的截面積 A 是常數；且材料是均質的，故是常數。在許多情況，桿子的截面積是常數；且材料是均質的，故 E 是常數。 桿子的整個長度上的內力 P 也是常數。結果，(4-1) 式的積分結果產生 (4-2) 100 若桿子受到數個不同的軸向力，或桿子的截面積或彈性模數從某一段至另一段有突然的變化時，上列的方程式可應用到桿子的各段，因其中所有的量均是常數。桿子一端相對於另一端的位移可由各段端點位移的代數相加而獲得。 (4-3) 100 慣用符號 　 　 若使桿子受拉及伸長的力及位移，我們將認為是正的；而造成受壓及縮短的力及位移是負的。 101 101 ? 聖維南定理表示物體在充分遠離負載或支承端足夠距離的區域，其中局部的變形和應力將會均勻分佈。 ? 一受軸向負載構件的位移可由其所承受之負載的相關應力 ? = P / A 和位移相關的應變 ? = d? / dx 來決定。最後此二等式的組合所產生的 (4-1) 式亦即為虎克定律 ? = E? 。 ? 因虎克定律是用來發展出位移方程式，所以負載不可引起材料的降伏，以及材料的均勻性和線彈性行為都是很重要的。 101 在軸向負載構件上的兩點及的相對位移可用 (4-1) 式 [ 或 (4-2) 式 ] 算得。應用所需公式須依循下列步驟。 內　力 ? 要獲得內部軸向力 P，須使用截面法並應用力平衡方式於構件的軸方向。 ? 若力量沿構件的長度方向變化，必須取一截面距構件一端任意距離 x，並將力以x 的函數表示，即 P(x)。 ? 若有數個常數外力作用在構件上，則介於任兩外力間構件上各段的內力必須求出。 ? 對於各段，內部拉力為正而內部壓力為負。為了方便，合成內部負載可用正向力圖來表示。 102 位　移 ? 當構件的截面積沿著軸變化，面積必須以位置 x 的函數表示，即 A(x)。 ? 若其截面積、彈性模數，或內部負載在 A 及 B 點間突然變化，則 (4-2) 式應用到各段均為常數的量。 ? 當將數據代入 (4-1) 至 (4-3) 式時，必須確定 P 的正確符號，並使用一致的單位。對於任意段，若所計算的結果是正值，代表伸長；若為負值，則代表收縮。 102 4-1 102 102 103 4-2 103 * * * 普林斯頓 版權所有