异面直线所成的角求法总结加分析.doc

异面直线所成的角 一、平移法： 常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直接平移法 1．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小． 解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中 EF＝ FG＝EG＝1 ∴∠EGF＝120° ∴AD与BC成60°的角。 2．正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角． 答案：45° BMANCS3．S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN B M A N C S 证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角 连结BQ，设SC＝a，在△BQN中 BN＝ NQ＝SM＝a BQ＝ ∴COS∠QNB＝ 4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求BM与AN 解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG， 易证∠GNA就是BM与AN所成的角． 设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝，GN＝BM＝， cos∠GNA＝。 5．如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点．求与所成的角。 证明：取AB中点G，连结A1G，FG， 因为F是CD的中点，所以GF∥AD， 又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1， 故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D 设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D 因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1 即直线AE与D1F B B? (图1－28) A? A B C? D? C D F E 6．如图1—28的正方体中，E是A′D′的中点  (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?  (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；  (3)求直线AE和CC′所成的角的正切值；  (4)求直线AE和BA′所成的角的余弦值 解：(1) ∵ A??平面BC′，又点B和直线CC′都在平面BC′内，且B?CC′,  ∴ 直线BA′与CC′是异面直线 同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线  (2)∵ CC′∥BB′，∴ BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角 ∵ ∠A′BB′=45° ∴ BA′和CC′所成的角是45°  (3)∵ AA′∥BB′∥CC′，故AE和AA′所成的锐角∠A′AE是AE和CC′所成的角 在Rt△AA′E中，tan∠A′AE＝＝，所以AE和CC′所成角的正切值是  (4)取B′C′的中点F，连EF、BF，则有EFA?B?AB,  ∴ ABFE是平行四边形，从而BFAE, 即BF∥AE且BF=AE.  ∴ BF与BA′所成的锐角∠A′BF就是AE和BA′所成的角 A?BFM(图1－29) A? B F M (图1－29) A′B＝2，A′F＝BF＝，由余弦定理得： cos∠A′BF＝ 7. 长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。 解法一：如图④，过B1点作B1E∥BC1交CB的延长线于E点。 则∠DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=3， ∠DB1E= ∴∠DB1E=。 解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中， ∠C1B1E=135°，C1E=3，∠C1BE=，∴∠C1BE=。 练习： 8. 如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。 在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=，求D B和AC所成角的余弦值. 中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。 解法一：如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB，由已知有B1D=，BC1=5，BE=，∴∠BOE= ∴∠BOE=