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一、椭圆抛物面的概念(解析定义法) 定义4.6.1 在直角坐标系下，由方程 (4.6-1) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面 (elliptic paraboloid). 二、椭圆抛物面的性质 一、双曲抛物面的概念 定义４.６.２　在直角坐标系下，由方程 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 （4.6-２） 所表示的曲面叫做双曲抛物面 ( hyperbolic paraboloid ), 其中a，b为任意的正常数. 二、双曲抛物面的性质 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 6 6 6 x 0 z y 4 2 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 6 6 6 x 0 z y 4 2 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 4 2 x+y+z=6 x 0 z y 6 6 6 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 4 2 x 0 z y 6 6 6 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 a a x z y 0 z = 0 y = 0 x = 0 a a x z y 0 解析几何 * §4.6 抛物面 Ⅰ椭圆抛物面 一、椭圆抛物面的概念 二、椭圆抛物面的性质 三、椭圆抛物面的图形 方程(1)叫做椭圆抛物面的标准方程. y o z 例 将抛物线 绕它的对称轴旋转 y o x z 例 将抛物线 绕它的对称轴旋转 y . o x z 例 将抛物线 绕它的对称轴旋转 旋转抛物面 1 对称性 3 范围 为椭圆抛物面的顶点. 关于 z 轴，xOz 、yOz 坐标平面对称; 方程（4.6-1）表示的曲面全部在 xOy 平面的一侧. 2 顶点 ②用y = 0 截曲面 ③用x = 0 截曲面 ①用z = 0 截曲面 ⅰ） 用坐标面截割 x z y O 三、椭圆抛物面的图形(平行截割法) Cx＝0 Cy＝0 两条主抛物线具有相同的顶点,对称轴和开口方向 x z y O ①用z = h (h0)截曲面 结论：椭圆抛物面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy 面平行，且两对顶点分别在两主抛物线上滑动 ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割 x z y O ②用y = k截曲面 结论：取这样两个抛物线，它们所在的平面互相垂直，它们的顶点和轴都重合，且两抛物线有相同的开口方向，让其中一条抛物线平行于自己（即与抛物线所在的平面平行），且使其顶点在另一个抛物线上滑动，那么前一抛物线的运动轨迹是一个椭圆抛物面. ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割 用z = 0 截曲面 用y = 0截曲面 用x = 0截曲面 用z = h 截曲面 用y = k截曲面 用x = t截曲面 x z y 0 平行截割法 主截口: 辅助截口: 例 已知椭圆抛物面S的顶点在原点，对称面为xOz面与yOz面，且过点 和 ，求这个椭圆抛物面的方程。 分析： 对称面为xOz 面与yOz 面 且 Ⅱ 双曲抛物面 一、双曲抛物面的概念 二、双曲抛物面的性质 三、双曲抛物面的形状 方程（4.6-２）叫做双曲抛物面的标准方程. 1 对称性 2 范围 双曲抛物面（4.6-2）关于 xOz 、yOz 坐标平面以及z 轴对称. 方程(4.6-2)表示的曲面是无界的. xOz 、yOz 坐标平面是它的对称平面, z 轴是它的对称轴. 双曲抛物面无对称中心. O x z y ②用坐标面y = 0 截割曲面，得 ③用坐标面x = 0 截割曲面，得 ①用坐标面z = 0 截割曲面，得 ⅰ） 用坐标面截割曲面 三、双曲抛物面的形状(平行截割法) Cy＝0 Cx＝0 两条主抛物线具有相同的顶点和对称轴,但开口方向相反. O x z y ①用平面z = h截割曲面，得 ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割曲面 当h0 时， 当h0 时， Cz＝h Cz＝h O x z y ②用平面y= t 截曲面，得 ⅱ） 用平行于坐标面的平面截割曲面 Cy＝t