排队论课件pt课件.ppt

随机过程与数学建模 吉林大学 方沛辰 随机性和确定性是一对矛盾，它们既对立又统一。一般的问题 不是能明确划分的，常常两种性质都有，用不同的假设来处理。 1.随机型问题 随机型问题的最优化常常是对目标函数的数学期望求最优。 因此首先需要知道概率分布，再写出目标函数的数学期望的表 达式进而解决问题。这里很可能用到求函数的期望。 例题：一个私人牙科诊所很受欢迎，病人络绎不绝。来的有 15 90分钟 1/6 C 10 30分钟 1/3 B 10 20分钟 1/2 A 平均 治疗时间 概 率 病 名 三种病，一名医生每天上午和下午分别工作3.5小时，都是早8点挂的号，上午和下午分别挂多少号最适合？ 平均看一个病人的时间显然是35分钟，3.5小时应该看6人。 大家想过没有，这样将会有一半的时间不能正常吃午饭！ 如果6个人都是C病，全看完要9个小时！ 那我们应该有什么样的结论呢？好像没什么好做的。真正要解决这个问题就要用到随机过程的理论和方法。 再举一例：豹在逐渐靠近羊的时候是匍匐前进，一旦羊发现了豹开始逃走时豹就起身追赶。假设羊不能发现50米之外的豹，到了15米羊就必然发现豹，怎样描述羊和豹在相距x米时的发现概率。这是一个很让人深思的问题。 从视觉角度看发现一个物体应该和物体的像的面积成正比， 这样概率可看作是x的函数p(x)，并且是在15处取1，50处取0, 中间是递减的，进而是x的二次函数。但是注意p(x)不是密度函数，那它是什么呢？ 2.随机过程初步知识 在概率论中学过随机向量(x1,x2,…,xn)，相关学过联合分布、边缘 分布、条件分布等概念，一起研究许多个比单个研究方便。 把随机向量的概念推广，一起研究无穷多个随机变量，就是随机过程。注意无穷多有两种：可列多和连续多，对应就有随机序列和随机过程两个概念。有限多和无限多有本质区别。 例1 用x(t,ω)记（0，t)中电话接到的呼叫数。不同的t是不同 随机变量,不同的ω是不同的样本曲线。 例2 用x(t,ω)记微粒在水面布朗运动漂浮时横坐标。 例3 用x(n,ω),n=1,2,…记相互独立同分布的伯努利随机变量序列，取值0和1，相应概率q和p，称为伯努利过程。 取值为0,1,2,…,称为二项计数过程，或随机游动。 例4 用x(n,ω)记第n代生物群体的数量。 定义 设{X(t),t0}是一个随机过程，取定t,X(t)是一个随机变量，它的分布函数 称为X(t)的一维分布函数，相应也有一维概率密度等概念。 定义 设{X(t),t0}是一个随机过程，取定s,t,X(s),X(t)是一 个二维随机变量，它的分布函数 称为(X(s),X(t))的二维分布函数。 定义 设{X(t),t0}是一个随机过程，取定t1,t2,…,tn， X(t1),X(t2),…,X(tn)是一个n维随机变量，它的分布函数 随机过程的数字特征，对于 称为均值函数； 定义： 称为方差函数； 称为协方差函数； 称为相关函数； 介绍一本教材：研究生教学用书 “随机过程及应用”电子科技大学应用数学学院 陈良均 朱庆棠 高教出版社 定义：如果对任意的正整数n及任意的t1,t2,…,tn∈T,随机变量X(t1),X(t2),…X(tn)相互独立，称过程是独立过程。 3.几种重要的随机过程 例 伯努利过程是独立过程。 定义：如果对任意的正整数n及任意的t1t2…tn,随机过程的增量X(t2)-X(t1), X(t3)-X(t2),… ,X(tn)-X(tn-1)相互独立，称过程是独立增量过程。 定义：如果独立增量过程对任意的s,t∈T及任意的h0,随机变量X(t+h)-X(s+h)与X(t)-X(s)有相同的概率分布，称过程是平稳的独立增量过程。 例 二项计数过程是平稳的独立增量过程 性质1 如果{X(t),t≥0}是平稳独立增量过程，X(0)=0，则 (1)均值函数 m(t)=mt, m为常数； (2)方差函数 D(t)=σ2t, σ为常数； (3)协方差函数 C(s,t)=σ2min{s,t}。 性质2 独立增量过程的有限维分布由一维分布和增量分布确定。 定义：给定随机过程{X(t),t∈T}如果对任意的正整数n及任意的t1,t2,…,tn∈T,随机变量X(t1),X(t2),…X(tn)的联合概率分布为n维正态分布，称过程{X(t),t∈T}是正态过程（高斯过程）。 定义：如果随机过程{W(t),t∈T}满足下列条件： (1)W(0)=0;