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《分离变量法1》课件
第二章 分离变量法
第一讲;上节课内容回顾;;三种典型的偏微分方程;定解条件;A、 弦振动方程的边界条件;B、热传导方程的边界条件(以S表示某物体V 的边界);本节课内容;1、偏微分方程一般分类 ;一个含n个变量的二阶线性偏微分方程的一般形式:;3、二阶线性偏微分方程的分类 ;定解问题的最常用解法——分离变量法
核心思想:将未知函数按多个单元函数分开;2.1 两端固定弦的自由振动(波动方程);? 第一步:分离变量 ;选取相应的齐次定解条件,与其中一个常微分方程构成本征值问题。 ;当 时,方程 为 ;∵ ∴ 即 ;? 第三步:求特解,并进一步叠加出一般解;一般解既满足偏微分方程又满足边界条件,因而不同于通解。 ;?第四步:利用本征函数的正交性定出叠加系数;定义:本征函数的模方 ;;分离变量法的先决条件: ? 本征值??题有解 ? 定解问题的解一定可以按照本征函数展开——本征函数的全体是完备的 ? 本征函数一定具有正交性;2.2 分离变量法的物理诠释;波节:;基频:固有频率中的最小值;例1:设有一根长为10个单位的弦,两端固定,初速为零,初位移为 , , 求弦作微小横向振动时的位移。;;;;弦的振动;;;;;l=1,a=10时的震动;(二)利用边界条件,得到特征值问题并求解 ;分离变量法适用范围:
偏微分方程是线性齐次的,并且边界条件也是齐次的。
其求解的关键步骤:
确定特征函数
运用叠加原理。;作业
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