拼凑与分.pptVIP

* 拼凑与划分 例话递推数列参数的探猜 万尔遐老师讲数学 二阶递推 先看问题 题目 已知数列{an}中，a1 = 1，a2=3，且an+1=an+2an – 1(n≥2). （1）设bn=an+1+λan，是否存在实数λ，使数列{bn}为等比数列. 若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由； 分析 对于问题（1），文字虽长，但递推式系数很简单，1和2罢了！ 本题所存在实数λ，猜验可得！ 数据简单 直接拼凑 设bn=an+1+λan为等比数列，λ的值，心算可出： 这里λ=1，公比为2. 故存在实数λ=2或–1，使数列{bn}为等比数列. an+1=an+2an – 1 an+1+ an =2an+2an – 1 = 2(an+2an – 1）， 或an+1=an+2an – 1 an+1 – 2an = an – 2an+2an – 1 = – (an – 2an – 1），这里λ= – 2，公比为–1. 在一般情况下，求λ的值采用“待定对比法”. 一般情况 待定系数 解（1）设有常数λ、μ存在，使得数列{an+1 +λan}是公比为μ的等比数列，即 答案 存在实数λ= –2或1，使数列{bn}为等比数列. 与递推式 比较: 等比数列 先看三项 分析 {bn}为等比数列的必要条件是b1、b2、b3为等比数列. 由a1=1，a2=3，且an+1=an+2an – 1(n≥2)可得： a1= 1，a2= 3，a3= 5，a4=11. 又 bn=an+1+λan， 故有 b1=3+λ，b2=5+3λ，b3=11+5λ. 说明 等比数列，至少3项！ 先猜后证 推到一般 解析 设b1，b2，b3 成等比数列，则是 解得λ= –2或1. 经检验，–2或1为所求. 说明 这里的“经检验”是个空话，实际上并没有去检验，因为我们坚信解答的结果是正确的. “经检验”三字的写出，使得前面的“必要条件”同时又成“充分条件”了. 不知通项 如何求和 解（2） 划分奇偶 分段求和 故数列{an}的前n项和为: *