曲线拟合实验报告.docxVIP

数值分析 课程设计报告 学生姓名 学生学号 所在班级 指导教师 成绩评定 一、课程设计名称 函数逼近与曲线拟合 二、课程设计目的及要求 实验目的： ⑴学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。 ⑵学会基本的矩阵运算，注意点乘和叉乘的区别。 实验要求： ⑴编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，做出离散函数（xi ⑵用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB的内部函数plot作出其图形，并与（1）结果进行比较。 三、课程设计中的算法描述 用最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的数据点，并不要求这条曲线精确的经过这些点，而是拟合曲线无限逼近离散点所形成的数据曲线。 思路分析：从整体上考虑近似函数同所给数据点误差的大小，常用的方法有三种：一是误差绝对值的最大值，即误差向量的无穷范数；二是误差绝对值的和，即误差向量的1范数；三是误差平方和的算术平方根，即类似于误差向量的2范数。前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2范数的平方，此次采用第三种误差分析方案。 算法的具体推导过程： 1.设拟合多项式为： y= 2.给点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和： R 3.为了求得到符合条件的的值，对等式右边求ai偏导数，因而我们得到了： - - ?? - 4.将等式左边进行一次简化，然后应该可以得到下面的等式 a a a 5.把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵： 将这个范德蒙得矩阵化简后得到 7.因为,那么,计算得到系数矩阵，同时就得到了拟合曲线。 四、课程设计内容 ⑴实验环境：MATLAB2010 ⑵实验内容：给定的数据点（ x 0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 y 1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00 用最小二乘法求拟合数据的多项式； 用MATLAB内部函数polyfit函数进行拟合。 ⑶实验步骤 1)首先根据表格中给定的数据，用MATLAB软件画出数据的散点图（图1）。 2)观察散点图的变化趋势，近似于二次函数。则用二次多项式进行拟合，取一组基函数x0,x1,x2,并令 3)用MATLAB程序作线性最小二乘法的多项式拟合，求待定系数。 算法实现代码如下： x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; R=[(x.^2) x ones(7,1)]; A=R\y 用MATLAB程序计算平均误差。 算法实现代码如下： y1=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y=x.^2+x+1; z=(y-y1).^2; sum(z) 作出拟合曲线和数据图形（图2）。 用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差。 算法实现代码如下： x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; A=polyfit(x,y,2);%二次多形式拟合% z=polyval(A,x); A d=sum((z-y).^2) 7）绘制使用polyfit函数实现的拟合图形。（图3） 五、程序流程图 输入初始数据点 输入初始数据点 根据原始数据绘制散点图 分析数据点变化趋势，确定拟合多项式 用最小二乘法求系数矩阵，确定多项式 用所求的多项式，计算误差 绘制拟合曲线 图5-1 用最小二乘法求多项式拟合曲线流程图 输入初始数据点 输入初始数据点 调用polyfit函数，确定多形式的系数 调用plot函数进行绘图 调用polyval函数，进行多项式求值 图5-2 用polyfit函数求多项式拟合曲线流程图 六、实验结果 图6-1 表中数据的散点图 图6-2. 最小二乘法实现的拟合曲线 第1问 系数为 A = 1.0000 1.0000 1.0000 则多项式的方程为y= 平方误差和为 ans =1.9722e-031 图6-3. polyfit函数实现的拟合函数 第2问 系数为 A = 1.0000 1.0000 1.0000 则多项式的方程为y= 平方误差和为 ans = 1.9722e-031 实验结果分析 编写程序用最小二乘法求拟合曲线的多项式的过程中，求出的数据和拟合函数的平方误差很小，达到了很高的精度要求，以及通过散点求得的拟合曲线比较光滑。而用MATLAB的内部函数求polyfit求解的曲线拟合多项式和平方误差与程序求得的相同，还有就是虽然求解过程简单了，但用MATLAB的