《微积分2.8》课件.ppt

函数与极限 （一）函数改变量 (三) 函数的间断点 (四) 连续函数的运算法则 (五) 闭区间上连续函数的性质 (六) 利用函数连续性求函数极限 * §2.8 函数的连续性 定义2.11 设变量t从它的初值t1改变到它的终值t2，终值与 初值之差t2-t1，称为变量t的改变量。记做 ⊿t=t2-t1。此时终值t2=t1+⊿t l??????注意：? ⊿t可正、可负、可为0。 设有函数 当自变量x从x0改变到x0＋⊿x时，函数y相应的改变量为⊿y，如图所示： 例 正方形的边长x产生一个⊿x的改变量，如图。 问面积y改变了多少？ 解 边长为x时， 正方形面积为y=x2 如果边长为x+⊿x， 则面积为（x+⊿x）2 因此面积的改变量为: 如果边长由2米改变到2.05米，面积改变多少？ 此时 x=2，⊿x=0.05 ⊿y=2×2×0.05+(0.05)2=0.2025（平方米）。 ⊿y0,面积增加。 如果边长由2米改变到1.95米，面积改变多少？ 此时 x=2，⊿x=-0.05 ⊿y=2×2×(-0.05)+(-0.05)2=-0.1975（平方米）。 ⊿y0,面积减少。 定义2.12 （二）连续函数的概念 例2 定义2.13 定义2.14 例3 证 例 证 由定义2.13知 单侧连续 定理 例 解 右连续但不左连续 , 例5 例6 例7 定义2.16 可去间断点： 跳跃间断点、无穷间断点、振荡间断点 例8 例8 因此,根据极限运算法则有 利用定理2.13可以证明 除分母为0的点不连续外,在其他点处都连续. 可以证明基本初等函数在其定义域内都是连续 函数,一般初等函数在其定义区间内都是连续的. 由于三次方程只有三个根,所以各区间内只存在一个实根. * *