导数中双变量的数构造.docxVIP

PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 1 PAGE 导数中双变量的函数构造 21．（12分）已知函数（）． 　　（1）若函数是单调函数，求的取值范围； （2）求证：当时，都有． 21．解：（1）函数的定义域为，∵，∴， ∵函数是单调函数，∴或在上恒成立， ①∵，∴，即，， 令，则，当时，；当时，． 则在上递减，上递增，∴，∴； ②∵，∴，即，， 由①得在上递减，上递增，又，时，∴； 综上①②可知， 或； 6分 （2）由（1）可知，当时，在上递减，∵， ∴，即，∴， 要证，只需证，即证， 令，，则证，令，则， ∴在上递减，又，∴，即，得证． 12分 [典例]　已知函数f(x)＝ax2＋xln x(a∈R)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x＋3y＝0垂直． (1)求实数a的值； (2)求证：当n＞m＞0时，ln n－ln m＞eq \f(m,n)－eq \f(n,m)． [解]　(1)因为f(x)＝ax2＋xln x， 所以f′(x)＝2ax＋ln x＋1， 因为切线与直线x＋3y＝0垂直，所以切线的斜率为3， 所以f′(1)＝3，即2a＋1＝3，故a＝1． (2)证明：要证ln n－ln m＞eq \f(m,n)－eq \f(n,m)， 即证lneq \f(n,m)＞eq \f(m,n)－eq \f(n,m)，只需证ln eq \f(n,m)－eq \f(m,n)＋eq \f(n,m)＞0． 令eq \f(n,m)＝x，构造函数g(x)＝ln x－eq \f(1,x)＋x(x≥1)， 则g′(x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,x2)＋1． 因为x∈[1，＋∞)，所以g′(x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,x2)＋1＞0， 故g(x)在(1，＋∞)上单调递增． 由已知n＞m＞0，得eq \f(n,m)＞1， 所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))＞g(1)＝0， 即证得ln eq \f(n,m)－eq \f(m,n)＋eq \f(n,m)＞0成立，所以命题得证． 1．(2017·石家庄质检)已知函数f(x)＝aeq \r(x)－eq \f(x2,ex)(x＞0)，其中e为自然对数的底数． (1)当a＝0时，判断函数y＝f(x)极值点的个数； (2)若函数有两个零点x1，x2(x1＜x2)，设t＝eq \f(x2,x1)，证明：x1＋x2随着t的增大而增大． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝－eq \f(x2,ex)(x＞0)， f′(x)＝eq \f(－2x·ex－?－x2?·ex,?ex?2)＝eq \f(x?x－2?,ex)， 令f′(x)＝0，得x＝2， 当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，y＝f(x)单调递减， 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，y＝f(x)单调递增， 所以x＝2是函数的一个极小值点，无极大值点， 即函数y＝f(x)有一个极值点． (2)证明：令f(x)＝aeq \r(x)－eq \f(x2,ex)＝0，得x＝aex， 因为函数有两个零点x1，x2(x1＜x2)， 所以x1eq \o\al(,1)＝aex1，xeq \o\al(,2)＝aex2，可得eq \f(3,2)ln x1＝ln a＋x1， 取对数，做差将两个零点x1，x2(x1＜x2)，用t表示，注意的隐含范围。eq \ 取对数，做差将两个零点x1，x2(x1＜x2)，用t表示，注意的隐含范围。 故x2－x1＝eq \f(3,2)ln x2－eq \f(3,2)ln x1＝eq \f(3,2)lneq \f( x2,x1)． 又eq \f(x2,x1)＝t，则t＞1，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＝tx1，,x2－x1＝\f(3,2)ln t，)) 解得x1＝eq \f(\f(3,2)ln t,t－1)，x2＝eq \f(\f(3,2)tln t,t－1)． 所以x1＋x2＝eq \f(3,2)·eq \f(?t＋1?ln t,t－1)．① 令h(x)＝eq \f(?x＋1?ln x,x－1)，x∈(1，＋∞)， 则h′(x)＝eq \f(－2ln x＋x－\f(1,x),?x－1?2)． 令u(x)＝－2ln x＋x－eq \f(1,x)，得u′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x)))2． 当x∈(1，＋∞)时，u′(x)＞0． 因此，u(x)在(1，＋∞)上单调递增， 故对于任意的x∈(1，＋∞)，u(x)＞u(1)＝0， 由此可得h′(x