离散型随机变量的均值与方差(理)(基础.docVIP

PAGE 2.41 离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题； 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义： 一般地，若离散型随机变量的概率分布为 … … P … … 则称…… 为的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释： （1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令…，则有…，…，所以的数学期望又称为平均数、均值。 （3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质： ①； ②若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，有； 的推导过程如下：： 的分布列为 … … … … P … … 于是…… ＝……)……)＝ ∴。 要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念： 已知一组数据，，…，，它们的平均值为，那么各数据与的差的平方的平均数 ＋＋…＋叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量的概率分布为 … … P … … 则称＝＋＋…＋＋…称为随机变量的方差，式中的是随机变量的期望． 的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作． 要点诠释： ⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）． ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系： 4.方差的性质： 若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，； 要点三：常见分布的期望与方差 1、二点分布： 若离散型随机变量服从参数为的二点分布，则 期望 方差 证明：∵,,, ∴ 2、二项分布： 若离散型随机变量服从参数为的二项分布，即则 期望 方差 期望公式证明： ∵， ∴， 又∵， ∴＋＋…＋＋…＋ ． 3、几何分布： 独立重复试验中，若事件在每一次试验中发生的概率都为，事件第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且，，称离散型随机变量服从几何分布，记作：。 若离散型随机变量服从几何分布，且则 期望 方差 要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。 4、超几何分布： 若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则 期望 要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用 1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤： ①理解的意义，写出可能取的全部值； ②求取各个值的概率，写出分布列； … … P … … ③根据分布列，由期望、方差的定义求出、、： . 注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可． 2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用 ① 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； ② 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。 ③对于两个随机变量和，当需要了解他们的平均水平时，可比较和的大小。 ④和相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较和，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比较集中．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关． 【典型例题】 类型一、离散型随机变量的期望 例1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为________． 【思路点拨】分布列中含有字母x、y,应先根据分布列的性质，求出x、y的值，再利用期望的定义求解； 【解析】x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.① 又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.② 由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4. 【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解， 举一反三： 【变式1】（2015春 金台区期末）设ξ～B（18，p），又E（ξ）=9，则p的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A ∵ξ～B（18，p），E（ξ）=9， ∴18p=9，∴， 故选：A。 【变式2】随机变量ξ的分布列为 ξ 0 2 4 P 0