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PAGE PAGE 5 适用栏目：竞赛之窗 适用年级：初三 与绝对值有关的不等式竞赛题 李培华 广东省化州市文楼中学 525136 绝对值与不等式相结合问题是各类竞赛的热点内容，也是许多学生解题的难点所在。怎样求解与绝对值有关的不等式问题呢？本文将结合各类竞赛题，介绍四种最常用的解题方法，供同学们参考： 方法1：分类讨论法，即根据绝对值的概念对原绝对值不等式进行分类讨论处理。 绝对值概念的定义方式：＝ 例1（第18届（2007年）希望杯初二第1试试题）关于的不等式的所有整数解的和是______ 解：①当即时，原绝对值不等式可化为解得； ②当即时，原绝对值不等式可化为解得； ③当即时，原绝对值不等式可化为解得； 综上得，原绝对值不等式的解集为，从而知整数解是，，，。故所有整数解的和是6 例2（第13届（2002年）希望杯初二培训题）已知，且，那么的取值范围为( ) 解：由得整理得 则 ⑴当时，由且得，即① 又 ② 由①②得 ⑵当时，类似⑴可推出，即③，由③及得 综上得，故选 小结：用分类讨论法解题的一般步骤： ⑴确定分类讨论的对象； ⑵将对象进行合理分类； ⑶逐步逐级分类讨论； ⑷综合，归纳结论。 练习一： 1（第12届（2001年）希望杯初二培训题）若，且，，则（ ） 2（第13届（2002年）希望杯初一培训题）不等式的解集是______ 方法2：数形结合法，即结合绝对值的几何意义，利用数轴寻求绝对值不等式的解集。 两个数的差的绝对值的几何意义是这两个数在数轴上所对应的两个点之间的距离。 例3（第14届（2003年）希望杯初二第2试试题）数轴上的点A、B、P分别对应数、、,并且P与A的距离大于P与B的距离，则（ ） 解：依题意，把A、B在数轴上标示出来，取AB的中点C,则其表示的数是，要使P与A的距离大于P与B的距离，则即，就要P在C的左边，此时满足，故选D 例4（2007年全国初中数学联赛第1试试题）已知对所有实数，恒成立，则可取得的最大值为______ 解：由绝对值的几何意义知，表示与、的距离之和，由数轴可知，当时，的最小值为3，又 当时，的最小值为3 即可取得的最大值为3 小结：数轴是求解绝对值不等式问题的重要钥匙和有效工具。像例3和例4利用数轴打开绝对值不等式问题求解思路的大门，以形助数，以数解形，从而把抽象问题具体化，把繁杂问题简单化。 练习二： 3（第17届（2006年）希望杯初一培训题）不等式的整数解有（ ） 4（第17届（2006年）希望杯初一培训题）任意有理数，都能使 恒成立，则的最大值为（ ） 方法3：等价转化法，即把原绝对值不等式等价转化为新不等式，使得两者的解集完全相同。 例5（第17届（2006年）希望杯初二第1试试题）要使代数式有意义，则实数的取值范围是_____ 解：要使原代数式有意义，必须 由⑴得，此不等式等价于解得，由⑵得，此不等式等价于 解得由⑶⑷得，的取值范围是 例6（第12届（2001年）希望杯初二第2试试题）已知，且，那么（ ） 解：，且 即将此绝对值不等式两边平方得化简得，故选B 小结：使用等价转化法时，常常用到以下重要性质： ⑴ ⑵或 ⑶ 练习三： 5（第11届（2000年）希望杯初二培训题）已知实数满足，则的取值范围是_____ 6（第18届（2007年）希望杯初一培训题）关于的不等式的解包含了不等式，则实数的取值范围是（ ） 方法4：特殊检验法，即对一时难以解决的一般问题，把它向特殊的形式转化处理。 例7（第17届（2006年）希望杯初二第2试试题）要使代数式有意义，那么实数的取值范围为（ ） 解：纵观四个选项可知，1和5是的临界值，不妨取检验。当时，原代数式的分母等于0，不符合要求，从而排除C,D;对比A和B，不妨取代入检验，当时，原代数式有意义，而B项包含，故选B。 小结：特殊检验法特别适用于选择题，其求解关键在特值的选取。在选取特值时