胡海岩机械振动基础第三章课件.pptVIP

DETeC/QC/LN-VS DETeC/QC/LN-VS 第3章 无限自由度系统的振动 * * 多自由度 大自由度 无限自由度 * 实际振动系统的惯性、弹性和阻尼都是连续分布的，因而称为连续系统或分布参数系统。确定连续系统中无数个质点的运动形态需要无限多个广义坐标，因此连续系统又称为无限自由度系统。 研究对象: 限于由均匀的、各向同性线弹性材料制成的弦、 杆、轴、梁、膜以及板，简称为弹性体。 * 3.1 弹性杆的纵向振动 圆轴的扭转振动 弦的横向振动 EI, l, M 杆的纵向振动 同类型的振动：圆轴的扭转振动 弦的横向振动 * 振动微分方程、解法、特性相同 * * 弹性杆、轴和弦的振动微分方程形式相同，可用相同的方法分析。具体的步骤是： （1）分离变量将偏微分方程转化为常微分方程组; （2）由边界条件得出固有振动; （3）利用固有振型的正交性将系统解耦; （4）用振型叠加法得到系统的自由振动或受迫振动。 * 3.1.1 振动微分方程 直杆的纵向振动微分方程 设有长度为 l 的直杆，取杆的轴线作为 x 轴。记杆在坐标 x 的横截面积为A(x)、材料弹性模量为E(x)、密度为?(x)，用u(x, t) 表示坐标为 x 的截面在时刻 t 的纵向位移，f (x, t) 是单位长度杆上分布的纵向作用力。取长为dx的杆微段为分离体，其受力分析如图。 * 杆的纵向应变和轴向力分别为 根据Newton第二定律 * 对于均匀材料的等截面直杆， E(x) A(x)为常数 是杆内弹性纵波沿杆纵向的传播速度 直杆纵向受迫振动微分方程 其中 * 杆的自由振动 分离变量法: 两端必同时等于一常数。可以证明，该常数不会为正数. （1）固有振动的形式 * （2）固有振动的确定 描述了杆纵向振动幅值沿杆长的分布 杆的边界条件是杆两端对变形和轴向力的约束条件，又称作几何边界条件和动力边界条件。 * a. 在固定端： ; b. 在自由端： 。 简单边界条件 例 ：试求 端固定, 端自由的等截面直杆纵向固有振动。 解：写出边界条件 * 这一函数给出了杆各截面的振幅，即杆的振动形态，故称为第r阶固有振型函数。像多自由度系统的固有振型一样，固有振型函数的值具有相对性，即 可以是任意常数。不妨取式中 ，则有 求出无穷多个固有频率: 由 杆的固有振动解: * 上式在 时恰好对应自由杆零固有频率和刚体运动振型。此时，杆的运动有别于 而两端自由杆的固有频率和固有振型函数为 对于两端固定杆，类似地可求出其固有频率和固有振型函数为 杆的运动为 * 三种边界条件下杆的前3阶固有振型 固有振型曲线与坐标轴的交点为节点，系统固有振动幅值在节点处为零。对于简单边界条件的杆，第 r 阶固有振型有 r-1 个节点。 * 复杂边界条件 a. 一端装有刚度系数为k的拉压弹簧时 N N --反映了杆端的轴力与弹性力（或惯性力）间平衡关系 * b. 一端装有集中质量m时 N N * 例4.1.2 均匀材料等截面直杆的 端固定、 端具有集中质量m，求其固有频率。 EI, l m 固有频率方程 解：问题的边界条件为 * a. 如果杆的质量相对于集中质量很小，即 ? 是杆的质量与杆端集中质量的比值。 其中 与将弹性杆视为无质量弹簧得到的单自由度系统固有频率一致。 是整根杆的静拉压刚度。 * b. 若杆质量小于集中质量，但比值 不是非常小，可取Taylor展开 ，将频率方程写作 解出 并Taylor展开至二次项 STOP 相当于将弹性杆视为有质量的弹簧，并用Rayleigh法计入弹簧质量后的单自由度系统固有频率。 * 3.1.2 固有振型函数的正交性 固定边界: 自由边界: (a) * (a)-(b) 同理可得 (b) (a) 杆的固有频率互异 * 杆的固有振型函数正交关系，它们分别反映了不同阶次固有振动间既无动能交换又无势能交换.