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§2 矩阵的运算 * * * * * 例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店 发送货物的数量可用数表表示： 试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量． 其中aij 表示上半年工厂向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量． 其中cij 表示工厂下半年向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量． 解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量 一、矩阵的加法 定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为 说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 知识点比较 其他 结合律 交换律 矩阵加法的运算规律 设 A、B、C 是同型矩阵 设矩阵 A = (aij) ，记－A = (－aij)，称为矩阵 A 的负矩阵． 显然 设工厂向某家商店发送四种货物各 l 件，试求：工厂向该商 店发送第 j 种货物的总值及总重量． 例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表： 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． 解：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． 二、数与矩阵相乘 定义：数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ，规定为 备注 分配律 结合律 数乘矩阵的运算规律 设 A、B是同型矩阵，l , m 是数 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算. 知识点比较 其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量． 例（续） 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物 数量可用数表表示为： 这四种货物的单价及单件重量也可列成数表： 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． 试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量． 解： 以 ci1， ci2 分别表示工厂向第 i 家商店所发货物的总值及 总重量，其中 i = 1, 2, 3．于是 其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量． 其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量． 可用矩阵表示为 一般地， 一、矩阵与矩阵相乘 定义：设 ， ，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m×n 矩阵 ，其中 并把此乘积记作 C = AB． 例：设 则 知识点比较 有意义. 没有意义. 只有当第一个矩阵的列数 等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘. 例 P.35例5 结论： 矩阵乘法不一定满足交换律. 矩阵 ，却有 ， 从而不能由 得出 或 的结论． 矩阵乘法的运算规律 (1) 乘法结合律 (3) 乘法对加法的分配律 (2) 数乘和乘法的结合律 （其中 l 是数） (4) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即 推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lE 与任何同阶方阵都是可交换的. 纯量阵不同于对角阵 (5) 矩阵的幂 若 A 是 n 阶方阵，定义 显然 思考：下列等式在什么时候成立？ A、B可交换时成立 四、矩阵的转置 定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作AT . 例 转置矩阵的运算性质 例：已知 解法1 解法2 定义：设 A 为 n 阶方阵，如果满足 ，即 那么 A 称为对称阵. 如果满足 A = －AT，那么 A 称为反对称阵. 对称阵 反对称阵