函数的奇偶性(实用).pptVIP

x y 0 思考： 初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？ 轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿 直线折叠，能够与另一图形重合） 中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形 绕某点旋转 ，能够与另一图形重合） 观察下图，思考并讨论以下问题： (1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？ f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1) f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1) f(x)=x2 f(x)=|x| 实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数. 1．偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 例如，函数 都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示. 定义：一般地对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。 问题1：研究函数优先考虑定义域，偶函数的定义域有什么要求？ （定义域关于原点对称） 问题2：为什么强调任意和都有？ （说明具有一般性，避免特殊性） 问题3：偶函数的图像有什么特点？ （关于y轴对称） f(x)为偶函数 f(x)的图像关于y轴对称 问题4：如何判断一个函数是偶函数？ 1 形----函数图像关于y轴对称（图像容易画出的函数） 2数----利用定义 （1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称 （2） 确定f(x)于f(-x)的关系 （3） 若f(-x)= f(x)，则f(x)是偶函数 问题5：请举出一些偶函数，为什么它是偶函数？ 试一试 观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？ f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数. f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 2．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)= － f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性. 问题1：什么是奇函数？ 定义：一般地对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数。 问题2 ：奇函数的定义域有什么要求？ 奇函数的定义域关于原点对称 问题3：为什么强调任意和一般？ （说明具有一般性，避免特殊性） 问题4：奇函数的图像有什么特点？ 函数的图像关于原点对称 f(x)为奇函数 f(x)的图像关于原点对称 3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)也成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)也成立. 2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 注意： 1、函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域而言的是函数的整体性质； 5、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数. 4、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数. （1）若　　　　　　则　　是偶函数； （2）若对于定义域内的一些　，使　　　　 则　　是偶函数； （3）若对于定义域内的无数个　，使　　　　 　　 则　　是偶函数； （4）若对于定义域内的任意　，使　　　　 　　 则　　是偶函数； （5）若　　　　　　则　　不是偶函数。 对于定义在 上的函数　　， 【练习1】判断： 例1、判断下列函数的奇偶性： (1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x