函数奇偶性课件公开课.pptVIP

我们得到: 1 这两个函数图象都关于y轴对称. 2 从函数值对应表可以看到: 当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相同.即点(x,f(x))在图象上,相应的点(-x,f(x))也在函数图象上。 能否利用函数解析式来描述函数图象的特征呢？ 奇函数的图像特征 下列函数是偶函数吗? 奇、偶函数的性质: 例2. 判断下列函数的奇偶性 (1) f(x)=x3+2x； (2) f(x)=2x4+3x2； 解:f(x)的定义域为R. ∵ f(-x)=f(x)=5 检测题 一、填空： 1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有——那么函数f(x)就叫做偶函数. 2、奇函数的图象关于——对称。 二、判断： 1、偶函数的图形不一定关于y轴对称。（ ） 2、y=x 是奇函数。 （ ） 三、判断下列函数的奇偶性 2.奇偶函数图象的性质: 小结： 奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，把任意一个x换成-x，(x,-x均在定义域内） ①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； ②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必 要条件。 性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称. 判断奇偶性方法：图象法，定义法。 (6) f(x)=x+1 解:函数f(x)的定义域为R． ∵ f(-x)=f(x)=0， 又 f(-x)=-f(x)=0， ∴f(x)为既奇又偶函数． (5)f(x)=0 (x?R) 根据奇偶性, 函数可划分为四类: 奇函数;偶函数; 既奇又偶函数; 非奇非偶函数. 解:函数定义域为R． ∵ f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1, ∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠ –f(x). ∴f(x)为非奇非偶函数. 判定函数的奇偶性的步骤： (1)先求函数的定义域； ①若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数. ②若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步; (2)计算f(－x)化向 f ( x ) 的解析式； ①若等于 f ( x ),则函数是偶函数, ②若等于－f ( x ),则函数是奇函数, ③若不等于 ,则函数是非奇非偶函数 (3)结论. 有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1. (4)f(x)=|x+1|-|x-1| ∴f(x)既是偶函数, 又是奇函数. 解:函数的定义域为{-1,1}, 1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x , 如果都有f(-x)=-f(x)?f(x)为奇函数. 如果都有f(-x)=f(x) ?f(x)为偶函数. 一个函数为奇函数?它的图象关于原点对称. 一个函数为偶函数?它的图象关于y 轴对称. 2.两个性质: 3.判断函数奇偶性的步骤 ①考查函数定义域是否关于原点对称； ②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立； ③作出结论. 例3.已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2－2x,求当 x＜0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x)的图象. x y o 解:∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=－f(x). ∵当x≥0时,f(x)=x2－2x, ∴当x＜0时,-x0, f(-x) = (-x)2-2(-x) = x2+2x, 即 -f(x)= (x2+2x),∴ f(x)=-x2-2x. 偶函数定义： 如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。 奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=-f(x)那么f(x)就叫奇函数。 思考:偶函数与奇函数图象有什么 特征呢? 判断函数奇偶性步骤: (1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称; (2)确定f(x)与f(-x)的关系; (3)作出结论. 若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0, 则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x)或f(-x)+f(x)=0, 则f(x)是奇函数. 思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？ x y 0 1 2 f(x)=2x+1 -1 分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1