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1. 若为任意矩阵, , 则 【 】 2. 若矩阵对角线元素全大于, 则其正定 【 】 3, 若,均为实对称正定矩阵, 则也是正定矩阵 【 】 4. 若的非空子集构成上线性空间, 则为的子空间 【 】 5. 若为的真子空间, 则 【 】 是非判断 ①任何一个对称矩阵都唯一决定一个二次型； ②二次型经过非退化线性变换化成，则 ③两个秩相等的二次型，其标准型一定相同； ④两个阶对角阵合同的充要条件是两对角线上正项和负项个数分别相等 ⑤对任意,都有，则二次型为正定的。 ⑥二次型正定的充要条件为负惯性指标是0。 4.设是阶正定矩阵，是维非零列,且，求证线性无关。 证： 设有数使，则 ，由条件 ，有 又是正定， ，所以 ，于是 ，即线性无关。 写出下列二次型的矩阵 ① ② 写出下列矩阵的二次型 ① ② 已知的秩为2，求 的值。 设 ，，求证：与合同 设为可逆对称矩阵，求证：与合同 用配方法将下列二次型化成标准形，求出所用的非退化线性变换，化成规范型，并求其正惯性指标。 填空题： ?设为实对称可逆矩阵，则将 化成 的线性变换为 。 ? 设二次型 的秩为4，符号差为2，则 ，正惯性指标为 ，负惯性指标为 。 ?正定，则应满足 。 ④ 的秩为 。 例6 设为实对称可逆矩阵，则可逆存在矩阵，使正定。 证明：先证明必要性 取 ，由 ，可得 也为对称矩阵。 所以 必正定。 再证充分性 由于正定，所以对任意维实列向量 ，有 所以 ，即只有零解，故可逆。