2-线性时不变系统的时域分析.ppt

对于任意的激励信号f[n]可以表示成单位冲激序列的加权和，即： 2 卷积和的性质： 与连续函数的卷积积分的性质类似，离散函数的卷积和也满足交换律，结合律以及分配律。 以及满足： 下面分析卷积和的几种运算方法： 从卷积和的表达式： 可知，卷积和也要经过以下四个步骤： 图解法： 以一个例子说明这个方法。已知： （3）相乘、求和： 卷积和的波形如下： 2.解析式法： 对于能够写成比较简洁的表达式的离散函数，可以通过定义求出卷积和。 对于这种不是很明显就看成卷积和的上下限的函数，一般也要通过图解法作为辅助的手段。 （3）多项式相乘法 对于序列长度不是很长的序列，可以通过利用多项式乘法求解。下面举一例子说明这种方法。 为书写方便，写成如下形式： 将两序列的左端或右端对齐，然后相乘。这里采用右端对其的方式。要注意的是不能进位，最后把同一列上的乘积值按对位求和即可得到y[n]。 上面的这个表达式还不完整，还没有确定y[n]的定义域。 一般的，对于一个定义为[n1,n2]的序列f[n]以及[n3,n4]的序列h[n],h[n-k]的定义域为[n-n4,n-n3]，即 上面这道例题，其中n1=0，n2＝3，n3=0，n4=2，则其定义域为[0，5]。 （4）序列长度 f[n]定义在[n1,n2]以及h[n]定义在[n3,n4]上。 若定义f[n]的序列长度为Nf，h[n]的序列长度为Nh，y[n]的长度为Ny,则 （4）解卷积运算 在许多信号处理的实际问题中，需要做解卷积运算，即已知f[n](h[n])，y[n]，求h[n](f[n])。 解卷积运算可以用长除法来进行。仍举上面的例子进行说明。 其起始位置可以通过我们在前面求卷积和的方法来推导出。 九 相关 在信号分析问题中，有时需要比较两个信号波形是否相似，希望给出二者相似程度的统一描述。 若f1(t)和f2(t)为复函数且为能量有限信号，相关函数定义为： 自相关函数定义为： 对于复函数的功率有限信号，给出： （2）若f1(t)和f2(t)为实函数，则： 若f1(t)和f2(t)均为偶函数，则相关与卷积完全相同。 同样，两个离散序列f1[n]和f2[n]的互相关定义为 计算相关运算，与卷积运算不同之处在于不需要反折，其它步骤都一样。 至此，已经完成了线性时不变系统的分析。这一章的内容为先进行连续系统的分析，然后再进行离散系统的分析。讲了微分方程（差分方程）的求解，单位冲激响应。后面花了较长时间分析了卷积积分（卷积和）及其响应的性质。最后，简要地介绍了相关的概念。 下面讲解几道例题以加深对这一章的理解。 小结 例2－3 已知某连续时间LTI系统在输入f1(t)激励下，产生输出y1(t)如图所示。当输入为f2(t)时，试求其输出y2(t)。 例2－6 设3个LTI因果系统的级联如图所示，其中冲激响应h2[n]为 h2[n]=u[n]-u[n-2] 而总的冲激响应为： h[n]={1,5,10,11,8,4,1},n=0,1,2,3,4,5,6; (1)求冲激响应h1[n]; (2)求整个系统对f[n]=δ[n]- δ[n-1]的响应。 这里相当于求卷积，采用长除法： 故：h1[n]={1,3,3,2,1} n=0,1,2,3,5 * 新的一学期又开始了，同学们又要在新的起点，抱着新的希望，去追求新的知识。 希望我们能共同圆满地完成教与学的任务，希望在最后的回首中，能记得这次轻松愉快的知识之旅。 （3）卷积的结合律： （4）卷积的微分： 两个函数卷积后的导数等于其中一函数导数与另一函数之卷积。即： （5）卷积的积分： 应用类似的推演可以到处卷积的高阶导数或多重积分之运算规律： 设 ，则有： 此处，当i 、j取正整数时为导数的阶次，取负整数时为重积分的次数。 一个简单的例子为： 4.与冲激函数或阶跃函数的卷积 （1）函数f(t)与单位冲激函数δ(t)卷积的结果仍然是f(t)本身。即： 证明： 证明： 例2－2 解：将h(t)写成与阶跃函数乘积的形式： 四 杜阿密尔积分 阶跃函数响应为冲激函数的响应的积分，即： 杜阿密尔积分表示线性系统的零状态响应可以由任意激励信号的导数f’(t)以及系统的阶跃响应g(t)的卷积给出。 五 卷积的数值计算 这一部分的内容大家自己看一看，就不作为课堂讲授的内容。 六 线性时不变离散系统的时域解法 在连续系统中，通过建立系统的常系数