高一数学二次函数的最值.pptVIP

二次函数的最值问题 重点 掌握闭区间上的二函数的 最值问题 难点 了解并会处理含参数的二 次函数的最值问题 核心 区间与对称轴的相对位置 思想 数形结合 分类讨论 复习引入 顶点式:y=a(x-m)２+n(a 0) 两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a 0) 一般式:y=ax2+bx+c(a 0) =a(x+ )2+ a0时 开口向上 x = - ymin= a0时 开口向下 x = - ymax= 这些你都记得吗? 新 课 一、闭区间上的二次函数的最值 对于任意的二次函数如f(x)=a(x-m)2+n(a0)时 在区间[h,k]上的最值问题则有：1、若m∈[h,k] 则ymin=n;ymax=max ｛ f(h),f(k)｝如下图： m h k n h k m 2、若m [h,k]则ymin=min f(h),f(k) ;ymax=ma x f(h),f(k) 如下图： 思考题: 二次函数如f(x)=a(x-m)2+n(a0)时 在区间[h,k]上的最值又如何呢? h k m h k m 1.若m∈[h,k]则ymax=n;ymin=min｛ f(h),f(k)｝ 如下图： m h k h k m n h k m h k m 2、若m [h,k]则ymax=max｛ f(h),f(k) ｝ ;ymin= max ｛ f(h),f(k) ｝ 如下图： 即当x=-1时ymin =-4 ;当x=2时ymax =f(2)=5 练习1 求函数y=x2-2x-3且x [0,3]的最值？ 例题1 已知函数y=x2+2x-3 且x [-2，2], 求函数的最值？ 解析：函数配方有 y=(x+1)2-4如右图 例题2已知函数y=-x2-2x+3且x [0，2], 求函数的最值？ 解析：y= -x2-2x+3 = -(x+1)2+4 因为x [0，2]如右图 则ymax=f(0)= 0+0+3=3 ymin=f(2)= -4-4+3=-5 练习2 求函数y=-x2+2x+3且x [0,2]的最 值？ 二、含参变量的二次函数最值问题 解析： 因为函数y=x2+2ax+3 =（x+a)2+3-a2 的对称轴为x=-a。要求最值则要看x=-a 是否在区间[-2，2]之内，则从以下几个 方面解决如图： 1、轴动区间静 2、轴静区间动 例3：求函数y=x2+2ax+3在x [-2,2]时的 最值？ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ -a Ⅱ 当-2＜-a≤0时 f(x) max=f(2)=7+4a (0≤a ＜ 2) f(x) min=f(-a)=3-a2 Ⅰ 当-a≤-2 时 f(x) max= f(2)=7+4a (a≥2) 时 f(x) min=f(-2)=7-4a Ⅲ 当0＜-a≤2时 f(x) max=f(-2)=7-4a (-2 ≤a ＜0) f(x) min=f(-a)=3-a2 Ⅳ 当 -a＞2 时 f(x) max=f(-2)=7-4a (a ≤ -2) f(x) min=f(2)=7+4a 则由上图知解为: 例4 求函数y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]的 函数的最值? 解析: 因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称 轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值, 即要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位 置,则从以下几个方面解决如图: X=1 k K+2 则由上图知解为: 当k+2≤1(k ≤-1)时 f(x)max=f(k)=k2-2k-3 f(x)min=f(k+2)=k2+2k+3 当 k ＜1 ＜ k+2 时 f(x)max=max｛f(k),f(k+2)｝ (-1 ＜k ＜1) f(x)min=f(1)=-4 当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k+3