《复变函数及积分变换》(华中科技大学第二版)高等教育出版社课件_第.pptVIP

一、复积分 二、柯西积分定理(围线积分定理) 三、柯西积分公式 四、调和函数与解析函数 * * 则 称为复变函数 1、设复平面上的连续曲线段C 的方程为 ，令 为起点， 为终点，即 在C 上的曲线积分；若C 是封闭曲 线则称围线积分。 (方向默认是逆时针) 若 在C上连续， 2、性质 3、曲线积分的计算 设C 的方程为 则 解 例：求 ，其中C从i到2+i的直线段。 C 的方程为： 解 例：求 ，其中C 为： (1)从0到1+i 的直线段； (2)从0到1的直线段再从1到1+i的直线段 (2)将C 分成两段 和 练习 1、求 ，其中C 为： (1)从-1到1 的直线段； (2)从-1到1的上半圆周。 2、求 ，其中C 为： 3、证明 其中C 为圆心为a 的圆。 答案 1、 2、 解析且连续到C ，则 1、定理 当C 是闭曲线时，若 在C 内 也就是说若 在C 内有奇点，则 一般情况下 。 如 但 由 有 得 故 与路径无关 2、推论 若 在区域D内解析(可微)， 则对于D内的任一条从 到 连续曲 线段C，有 与路径无关；即 其结果只依赖于起点 和终点 。 于是 若 ，则 此时的曲线积分变成定积分。 解 例：求 ，其中C从i到2+i的直线段。 C 的方程为： 另解 在不含原点的区域解析，故 的区域解析，且连续到边界C，则 定理1 当C是闭曲线时，若 在C内 此公式的用法： 显然 在C内有奇点a ，此时可利用 上面公式求得围线积分的值。 例：求 解 被积函数 有三个奇点： 其中 在 内。 例：求 解 被积函数 有四个奇点： 其中 在 内。 练习 1、求 2、求 3、设 求 答案 1、 3、 2、 定理2 对于柯西积分公式 还可以两边同时对 t 求 n 阶导数: 这时 在C内有奇点a ，此时可利 用上面公式求得围线积分的值。 此公式的用法： 例：求 解 例：求 解 练习 1、求 2、求 其中C 为圆： 答案 1、 2、 于是有 定理3 若 在C内有n 个奇点 ，则可 以每个奇点为圆心做n个 互不相交的圆 例：求 解 被积函数 有两个奇点： 全部都在 内。 原式 例：求 解 被积函数 有两个奇点： 全部都在 内。 原式 练习 1、求 2、求 其中C 为圆： 3、求