2015秋冀教版数学九上24.3《一元二次方程根与系数的关系》练习题.docVIP

自我小测 基础巩固JICHU GONGGU 1．已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为(　　) A．－1 B．9 C．23 D．27 2．(开放题)请写出两根分别是2和－5的一个一元二次方程________． 3．已知方程x2＋(m－1)x＋m－10＝0的一个根是3，求m的值及该方程的另一个根． 4．设x1，x2是一元二次方程3x2＋6x－eq \f(9,2)＝0的两实数根，不解方程，求下列各式的值． (1)xeq \o\al(2,1)·x2＋x1·xeq \o\al(2,2)； (2)|x1－x2|. 5．关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＋1＝0的两实数根为x1与x2，若xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＝11，求实数k的值． 能力提升NENGLI TISHENG 6．已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)的值是(　　) A．7 B．－7 C．11 D．－11 7．设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根．问：是否存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立，请说明理由 8．已知a，b，c是Rt△ABC三边的长，a＜b＜c， (1)求证：关于x的方程a(1－x2)－2eq \r(2)bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根； (2)若c＝3a，x1，x2是这个方程的两根，求xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)的值． 参考答案 1．D　点拨：∵α，β是方程x2－5x－2＝0的两个实数根， ∴α＋β＝5，αβ＝－2. 又∵α2＋αβ＋β2＝(α＋β)2－αβ， ∴α2＋αβ＋β2＝52＋2＝27. 故选D. 2．x2＋3x－10＝0(答案不唯一)　点拨：设这个方程是x2＋bx＋c＝0， 根据一元二次方程根与系数的关系， 可得b＝－(2－5)＝3，c＝－10； 则这个方程是x2＋3x－10＝0. 3．分析：一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x＝3代入原方程即可求得m及另一根的值． 解：∵方程x2＋(m－1)x＋m－10＝0的一个根是3， ∴9＋3(m－1)＋m－10＝0 即4m－4＝0， 解得m＝1.由方程x2－9＝0， 解得x＝±3，故所求方程的另一根为－3. 4．解：x1＋x2＝－2，x1·x2＝－eq \f(3,2)， (1)xeq \o\al(2,1)·x2＋x1·xeq \o\al(2,2)＝x1·x2(x1＋x2) ＝－eq \f(3,2)×(－2)＝3. (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝(－2)2－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) ＝4＋6＝10. 故|x1－x2|＝eq \r(10). 5．分析：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，关键要掌握x1，x2是方程x2＋px＋q＝0的两根时，x1＋x2＝－p，x1x2＝q，本题容易忽视了判别式Δ≥0这一隐含条件而导致错误 解：∵方程x2－(k＋2)x＋2k＋1＝0的两实数根为x1与x2， ∴Δ＝[－(k＋2)]2－4(2k＋1)≥0， 解得k≥4或k≤0. 由根与系数的关系得x1＋x2＝k＋2，x1x2＝2k＋1， ∵xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝11， ∴(k＋2)2－2(2k＋1)＝11. ∴k2－9＝0，解得k＝±3. ∵k≥4或k≤0，∴k＝3舍去．故k＝－3. 6．A　点拨：根据题意得a与b为方程x2－6x＋4＝0的两根， 则a＋b＝6，ab＝4. 故原式＝eq \f(（a＋b）2－2ab,ab)＝eq \f(36－8,4)＝7. 7．解：∵关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根， ∴Δ＝16－4(k＋1)≥0.∴k≤3. 又3x1·x2－x1＞x2， ∴3x1·x2－(x1＋x2)＞0. 而x1＋x2＝4，x1·x2＝k＋1， ∴3×(k＋1)－4＞0.∴k＞eq \f(1,3). ∴eq \f(1,3)＜k≤3， ∴存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立． 8．(1)证明：把方程a(1－x2)－2eq \r(2)bx＋c(1＋x2)＝0化成一般形式为(c－a)x2－2eq \r(2)bx＋a＋c＝0， 其判别式Δ＝8b2－4a2＋4c2 ∵a，b，c是Rt△ABC三边的长， 且a＜b＜c， ∴Δ＝8b2－4a2＋4c2＞0. ∴方程a(1－x2)－2eq \r(2)bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根． (2)解：∵x1＋x2＝eq \f(2\r