北师大版数学九上《角平分线》试题.docVIP

九年级上第一章第四节角平分线 试题资料库： 例1.如下图，AP、BP分别平分△ABO的外角，∠AOB＝40°，则∠AOP＝ 。 解：20° 例2.如图ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是ABC两底角的平分线，求证：BD＝CE。 证明：ABC中∵AB＝AC ∴∠ABC＝∠ACB. 又∵BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB ∴ ∴∠1＝∠2 在BDC与CEB中 ∴BDCCEB（ASA） ∴BD＝CE 例3. 已知：如图，∠C=90°∠B=30°，AD是RtΔABC的角平分线。求证：BD=2CD。 分析：根据已知条件可求出∠BAC的度数，再由AD是ΔABC的角平分线，可分别求出上图中其余各角的度数，再证明结论就容易了。 证明：由∠C=90°，∠B=30°，知∠BAC=60°。 因AD是ΔABC的角平分线，故∠BAD=∠CAD=30°。则∠B=∠BAD。可知AD=BD。 在ΔADC中，∠DAC=30°，∠C=90°，则AD=2CD。故BD=2CD。 引申：该题中，若条件不变，如上图，从D点向AB作垂线交AB于点E，请问： ΔADE≌ΔADC是否成立？BD=2DE是否成立？ 不难看出，因为AD是ΔABC的角平分线，由角平分线的性质可知DE=DC，则ΔADE与ΔADC全等的条件可轻松找到，BD=2DE显然也成立。这是在特殊角三角形的情况下考虑的，若推广到一般三角形的情况，解答该题的主要依据“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”依然是一个重要的解题条件。 例4. 已知：如下图，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F。 求证：点F在∠DAE的平分线上。 分析：该题图比较简单，单从上图中很难看出应该怎么证明结论。但问题既然涉及角平分线，我们很容易想到定理“在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上”，所以不妨过点F分别作BD，BC，CE的垂线段，这样就找到了解决问题的切入点。 证明：如上图，过点F分别作BD，BC，CE的垂线段FG，FH，FM。 因BF是∠CBD的平分线，所以FG=FH。同理FH=FM，则FG=FM。 因点F在∠DAE内，且点F到AD，AE的距离相等，故点F在∠DAE的平分线上。 引申：该题中，若条件不变，请问：∠A与∠BFC有怎样的数量关系？ 请同学们进一步探索。 例5. 已知：如图1所示，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE//BC，交AB于D，交AC于E，求证：（1）BD+EC=DE 图1 （2）若将已知改为过一内角和一外角平分线交点作平行线，如图2所示，那么DB、EC和DE之间还存在怎样的关系。 图2 （3）若将已知改为过两个外角平分线交点作平行线如图3所示，那么DB、CE、DE之间还存在什么关系。 图3 证明：（1）∵DE//BC，∴∠2=∠3 ∵∠1=∠2，∴∠1=∠3 ∴BD=DF，同理FE=EC ∴BD+EC=DF+FE=DE （2）DE=BD－CE （3）DE=BD+CE ? 例6. 如图所示，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且ABAC，求证：BE－AC=AE 证明：过D作DN⊥AC垂足为N，连结DB、DC 则DN=DE，DB=DC 又∵DE⊥AB，DN⊥AC ? 例7. 已知：如图所示PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。 证明：过P作PE⊥AC于E ∵PA、PC分别是∠MAC 与∠NCA的平分线且PD⊥BM，PF⊥BN ∴PD=PE，PF=PE ∴PD=PF 又∵PD⊥BM，PF⊥BN ∴点P在∠MBN的平分线上 即BP为∠MBN的平分线 ? 例8. 如图DE是ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分，求∠C的度数。 解答：∵DE是AB的垂直平分线 ∴EA＝EB ∴∠ABE＝∠1 ∵ ∴ 又AE平分∠BAC ∴∠2＝∠1＝ 即∠BAC＝ ∴∠C＝－∠B－∠BAC＝ 例9. 如图BD是ABC的角平分线，DE//BC交AB于E。求证：BED是等腰三角形。 证明：∵BD是ABC的角平分线 ∴∠EBD＝∠DBC ∵DE//BC ∴∠EDB＝∠DBC ∴∠EBD＝∠EDB ∴EB＝ED，即BED是等腰三角形 例10. 已知：P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE ⊥OB，D，E分别是垂足，且PD＝PE，则点P在∠AOB的平分线上，请说明理由。 分析：“点在线上”的另一种说法是“线经过点”。直接说明点P在∠AOB的平分