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历届全国大学生数学竞赛预赛解析(非数类)
首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案
（非数学类，2009）
一、 填空题
⎛ y ⎞
(x +y ) ln 1+⎜ ⎟
⎝ x ⎠
（1）计算 ∫∫D dxdy =_____________ ，其中区域D 由直线x +y 1
1−x −y
与两坐标轴所围三角形区域.
2
（2 ） 设 f (x ) 是 连 续 函 数 ， 满 足 f (x ) 3x 2 − f (x )dx −2 ， 则
∫0
f (x ) =___________________.
2
（3 ） 曲面 z x +y 2 −2 平行平面 2x +2y −z 0 的切平面方程是
2
________________________.
（4 ）设函数 y y (x ) 由方程 xe f (y ) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，
d 2 y
且 f ′≠1 ，则 2 =____________________.
dx
′ 2 ′′
16 2 10 [1−f (y )] −f (y )
答案： ，3x − ， 2x +2y −z −5 0 ，− 2 ′ 3 .
15 3 x [1−f (y )]
x 2x nx e
e +e ++e
二、求极限 lim( )x ，其中 n 是给定的正整数.
x →0 n
x 2x nx
e e +e ++e
解：原式 lim exp{ ln( )}
x →0 x n
e(ln(ex +e2x ++enx ) −ln n)
exp{lim }
x →0 x
0
其中大括号内的极限是 型未定式，由 L Hospital 法则，有′
0
e(ln(ex +e2x ++enx ) −ln n) e(ex +2ex ++nenx )
lim lim
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