2015秋华师大版数学九上24.4《解直角三角形》练习题.docVIP

一、综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸AB∥CD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）. （参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan72°≈3.08） A A B C D E F M N R α β 【解】过点F作FG∥EM交CD于G. 则MG＝EF＝20米. ∠FGN＝∠α＝36°. ∴∠GFN＝∠β－∠FGN＝72°－36°＝36°. ∴∠FGN＝∠GFN， ∴FN＝GN＝50－20＝30（米）. 在Rt△FNR中， FR＝FN×sinβ＝30×sin72°＝30×0.95≈29（米）. 【思路分析】观察图形，此题需添加辅助线，将EM平移至点F处，构造直角三角形，从而利用解直角三角形的知识解决. 【方法规律】此题考查解直角三角形的应用. 解题关键是添加辅助线，构造直角三角形. 此题巧妙利用36°与72°之间的特殊关系，证明等腰三角形，从而简化了计算. 二、 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长． 【答案】 解：过点B作BM⊥FD于点M． 在△ACB中，∠ACB=90°, ∠A=60°,AC=10, ∴∠ABC=30°, BC=AC tan60°=10, ∵AB∥CF，∴∠BCM=30°． ∴ 在△EFD中，∠F=90°, ∠E=45°, ∴∠EDF=45°, ∴． ∴． 三、 （2011?娄底）喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC进行数学实践活动，如图，河对岸有一水文站A，小伟在河岸B处测得∠ABD=45°，沿河岸行走300米后到达C处，在C处测得∠ACD=30°，求河宽AD．（最后结果精确到1米．已知：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449，供选用） 考点：解直角三角形的应用-方向角问题。 分析：根据由图可知AD⊥BC，于是∠ABD=∠BAD=45°，以及∠ACD=30°，利用BD=x，CD=3x，即可得出x+3x=300，求出即可． 解答：解：如图，由图可知AD⊥BC，于是∠ABD=∠BAD=45°，∠ACD=30°． 在Rt△ABD中，BD=AD． 在Rt△ACD中，CD=3AD． 设AD=x，则有BD=x，CD=3x． 依题意，得BD+CD=300， 即x+3x=300， ∴（1+3）x=300， ∴x=3001+ 答：河宽AD约为110米． 点评：此题主要考查了解直角三角形主要是方向角问题，正确记忆三角函数的定义表示出BD=x，CD=3x是解决本题的关键． 四、 （2011湖南常德，24，8分）青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃.（如图7所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°.已知AC=40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位） 图7 图7 【答案】解：在Rt△BCD中， ∵∠BCD=90°－30°=60° ∴,则 在Rt△ABD中， ∵∠ABD=60° ∴ 即 ∴ 故约7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊. 五、 如图，在斜坡AB上有一棵树BD，由于受台风影响而倾斜，恰好与坡面垂直，在地面上C点处测得树顶部D的仰角为60°，测得坡角∠BAE＝30°，AB＝6米，AC＝4米．求树高BD的长是多少米？(结果保留根号) 23. 延长DB交AE于F由题可得BD⊥AB， 在Rt△ABF中∠BAF＝30°，AB＝6， ∴　BF＝AB·tan∠BAF＝2eq \r(3). ∴　cos30°＝eq \f(AB,AF). ∴　AF＝4eq \r(3). ∠DFC＝60°. ∵　∠C＝60°， ∴　∠C＝∠CFD＝∠D＝60°. ∴　△CDF是等边三角形． ∴　DF＝CF. ∴　DB＝DF－BF＝2eq \r(3)＋4. 答：树高BD的长是(2eq \r(3)＋4)米． 六、 2011日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸.山坡上有一颗与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）.已知山坡的坡角∠AEF=23°，测得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面的角∠ADC=60°，AD=4米. （1）求∠DAC的度数； （2）求这棵大树折断前高是多少米？（注：结果精确到个位）（参考数据：） 解