2015秋华师大版数学九上24.4《中位线》练习题3.docVIP

九年级上第24章第4节中位线知识拓展 例1. 如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别为AD、BC的中点，EF⊥MN交AB于E，交CD于F，求证：∠AEF=∠DFE. 分析 欲证∠AEF=∠DFE，由MN⊥EF想到延长BA、CD与NM的延长线交于P、Q，只需证明∠EPN=∠Q.如何利用中点的条件？想到三角形的中位线.连线BD，取BD的中点G，则有由于AB=CD，进而有GM=GN，∠GMN=∠GNM.然后再转化∠EPN=∠Q.从而证出结论. 证明 延长BA、CD分别与NM的延长线交于P、Q，连结BD，取BD的中点G，连结GM、GN. ∵G、M分别为△ABD的边BD、AD的中点， ∴ 同理可得： 又∵ ∵∥∥， ∴ ∴ ∴（等角的余角相等） 说明 添辅助线是证明几何题的难点，尤其像本题要添多条辅助线，更为困难.掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是在分析中自然添辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结. 例2．如图，C为已知线段AB外一点，以AC，BC为边，分别向的外侧作正方形ACFD和正方形BCGE，不论C点的位置在AB的同侧怎样变化， 求证：（1）D，E到AB所在直线的距离之和为定值； （2）线段DE的中点M为定点. 证明：（1）作于，于，于. ∵，且 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴. 同理： ∴（为定值） （2）过M作于N. ∵ ， ∴ ∵， ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴. 即N为AB的中点（为定点） 又∵（为定值）， ∴M为定点. 分析 本题综合考查了平行线等分线段定理，梯形中位线定理及全等三角形的判定与性质等，易错点是对定值、定点不理解，解题关键是作如图所示的四条辅助线.