倾斜角与斜率.docx

3．1．1　倾斜角与斜率 教学目标： 理解直线的倾斜角和斜率的概念． 掌握求直线斜率的方法． 3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素． 教学重点： 直线的倾斜角和斜率 求直线斜率的方法 教学难点： 求直线斜率的方法 教学方法： 讲解法、练习法、任务驱动法 教学过程： 一、基础知识 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°． (2)倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°． 2．直线的斜率 定义 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tan__α 取值范围 当α＝0°时，k＝0； 当0°α90°时，k0； 当90°α180°时，k0； 当α＝90°时，斜率不存在 过两点的直线的斜率公式 直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1) 3．运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率应注意的问题 (1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应)． (2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在． 典例分析 例1 直线的倾斜角 　(1)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α180°时，倾斜角为α－135° (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． 分类讨论思想——求直线的倾斜角 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论． 例2 直线的斜率 　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α． (1)A(2，3)，B(4，5)； (2)C(－2，3)，D(2，－1)； (3)P(－3，1)，Q(－3，10)． 应用斜率公式求斜率应注意的问题 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．　 例3　(1)如果Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m，\f(5,2)))，B(4，－1)，C(－4，－m)三点在同一条直线上，试确定常数m的值． (2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围． 总结： (1)三点共线问题 用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴．当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时，三点共线．否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可． (2)利用数形结合求倾斜角或斜率 求斜率的范围不仅是求出边界的范围就可以，更要注意数形结合观察斜率不存在的情况对于斜率范围的影响． 三、课堂检测 1．直线x＝1的倾斜角为(　　) A．0°　　　　　　　　　 B．45° C．90° D．180° 2．过点(－3，0)和点(－4，eq \r(3))的直线的倾斜角是(　　) A．30° B．150° C．60° D．120° 3．直线l经过原点O和点P(－1，－1)，则该直线的斜率是__________． 4．已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值． 四、小结 五、作业