2017秋人教版数学九年级上册专题十《有关切线的辅助线作法》同步测试.docVIP

有关切线的辅助线作法 一　切线的性质 (教材P101习题24.2第5题) 如图1，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP. 证明：连接OP.∵AB是小圆的切线，∴OP⊥AB.在大圆中由垂径定理得AP＝BP. 图1 　　　 图2 【思想方法】 圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的辅助线作法． 　如图2，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为(　C A．3 cm　　B．4 cm　　C．6 cm　　D． 　如图3，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE. (1)求证：AE平分∠CAB； (2)探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE＝EC时∠C的值． 图3 变形2答图 解：(1)证明：如图，连接OE，∵BC是⊙O的切线，且切点为E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°.又∵△ABC是直角三角形，∴∠B＝90°，∴∠OEC＝∠B，∴OE∥AB，∴∠BAE＝∠OEA.∵OA＝OE，∴∠1＝∠OEA， ∴∠BAE＝∠1，∴AE平分∠CAB. (2)∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC＋∠C＝90°.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC＝2∠1，∴2∠1＋∠C＝90°，即∠1＝eq \f(1,2)(90°－∠C)．当AE＝EC时，∠1＝∠C，则2∠C＋∠C＝90°，∴∠C＝30°. 图4 　如图4，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过点T作AD的延长线于点C. (1)求证：CT为⊙O的切线； (2)若⊙O半径为2，CT＝eq \r(3)，求AD的长． 解：(1)证明：连接OT ∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA 又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT＝∠OAT ∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC 又∵CT⊥AT，∴CT⊥OT ∴CT为⊙O的切线． (2)解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点 又∵CT⊥AC，∴OE∥CT ∴四边形OTCE为矩形 ∵CT＝eq \r(3)，∴OE＝eq \r(3) 又∵OA＝2 ∴在Rt△OAE中，AE＝eq \r(OA2－OE2)＝eq \r(22－（\r(3)）2)＝1 ∴AD＝2AE＝2. 二　切线的判定 (教材P101习题24.2第4题) 如图5，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线． 证明：连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线．∴OC⊥AB. ∴AB是⊙O的切线． 图5 【思想方法】 证明某直线为圆的切线时，(1)如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角． 　如图6，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由． 图6 解：CD与⊙O相切．理由如下： 连接DO，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDO＝∠AOD＝90°.又∵OD是⊙O的半径，CD经过点D， ∴CD是⊙O的切线． 　[2012·温州]如图7，△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长． 图7 变形2答图 解：(1)证明：如图，连接OD，∵∠DOB＝2∠DCB， 又∵∠A＝2∠DCB，∴∠A＝∠DOB. 又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠DOB＋∠B＝90°， ∴∠BDO＝90°，∴OD⊥AB，∴AB是⊙O的切线． (2)解法一：如图，过点O作OM⊥CD于点M， ∵OD＝OE＝BE＝eq \f(1,2)BO，∠BDO＝90°，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴∠DCB＝30°， ∴OC＝2OM＝2，∴OD＝2，BO＝4，∴BD＝2eq \r(3). 解法二：如图，过点O作OM⊥CD于点M，连接DE， ∵OM⊥CD，∴CM＝DM. 又∵OC＝OE，∴DE＝2OM＝2. ∵Rt△BDO中，OE＝BE，∴DE＝eq \f(1,2)BO， ∴BO＝4，∴OD＝OE＝2，∴BD＝2eq \r(3). 图8 　如图8，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形． (1)求AD的