2017秋人教版数学九年级上册专题五《二次函数与一元二次方程(不等式)的关系》同步测试.docVIP

二次函数与一元二次方程(不等式)的关系 (教材P47习题22.2第5题) 画出函数y＝x2－2x－3的图象，利用图象回答： (1)方程x2－2x－3＝0的解是什么； (2)x取什么值时，函数值大于0； (3)x取什么值时，函数值小于0. 解： 函数图象如图所示： (1)方程可化简为(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝－1　x2＝3 (2)由图象开口向上，且方程的两个根为－1和3，可知，当x－1或x3时函数值大于0. (3)由图象开口向上，且方程的两个根为－1和3，可知，当－1x3时函数值小于0. 　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是(　B　) 图1 A．ac0 B．方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3 C．2a－b D．当x0时，y随x的增大而减小 若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1x2，图象上有一点M(x0，y0)在x轴下方，则下列判断正确的是(　D　) A．a0　　　　　B．b2－4ac C．x1x0x2 D．a(x0－x1)(x0－x2)0 　[2012·兰州]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　D　) 图2 A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞3 【解析】 先根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根时k的取值范围． 根据题意得y＝|ax2＋bx＋c|的图象如图所示， 所以若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k＞3. 　若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m＋6，n)，则n＝__9__． 【解析】 ∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点， ∴当x＝－eq \f(b,2)时，y＝0.且b2－4c＝0，即b2＝4 c. 又∵点A(m，n)，B(m＋6，n)的纵坐标相同， ∴点A、B关于直线x＝－eq \f(b,2)对称，∴A(－eq \f(b,2)－3，n)，B(－eq \f(b,2)＋3，n) 将A点坐标代入抛物线解析式，得：n＝(－eq \f(b,2)－3)2＋b(－eq \f(b,2)－3)＋c＝－eq \f(b2,4)＋c＋9 ∵b2＝4c ∴n＝－eq \f(1,4)×4c＋c＋9＝9. 　在一次数学活动课上，老师出了一道题： (1)解方程x2－2x－3＝0. 巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法(分解因式法)．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二题： (2)解关于x的方程mx2＋(m－3)x－3＝0(m为常数，且m≠0)． 老师继续巡视，及时观察、点拨大家．再接着，老师将第二道题变式为第三道题： (3)已知关于x的函数y＝mx2＋(m－3)x－3(m为常数)．求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点． 请你也用自己熟悉的方法解上述三道题． 解：(1)由x2－2x－3＝0，得(x＋1)(x－3)＝0， ∴x1＝－1，x2＝3. (2)由mx2＋(m－3)x－3＝0得(x＋1)(mx－3)＝0.∵m≠0，∴x1＝－1，x2＝eq \f(3,m). (3)①当m＝0时，函数y＝mx2＋(m－3)x－3＝－3x－3， 令y＝0，得x＝－1，令x＝0，得y＝－3， ∴直线y＝－3x－3过点(－1，0)，(0，－3)； ②当m≠0时，函数y＝mx2＋(m－3)x－3＝(x＋1)(mx－3)， ∴抛物线y＝(x＋1)(mx－3)过点(－1，0)，(0，－3)． ∴不论m为何值，此函数的图象恒过x轴上的点(－1，0)和y轴上的点(0，－3)． 　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1x2)两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的两根． (1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC∶S△ACD的值； (2)若∠ADC＝90°，求二次函数的解析式． 解：(1)因为x2＋4x－5＝0的两根是x＝－5，x＝1. 所以A，B两点的坐标为A(－5，0)，B(1，0)， 所以抛物线的对称轴为x＝－2. 依二次函数图象与一元二次方程解的关系，可设二次函数的解析式为y＝a(x2＋4x－5)(a＞0) 则C，D的坐标分别为C(0，－5a)，D(－2，－9a 从而可画出大致图象，如图 所以S△ABC＝eq \f(1,2)AB·OC＝15a. 设AC与抛物线的对称轴交于点E，则由三角形相似可求得E点的坐标为(－2，－3a) 所以S△ACD＝S△AED＋S△D