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概率论及数理统计第七章参数估计

第七章 参数估计 §1 点估计 一、参数估计的概念 二、矩估计法(简称“矩法”) (p128) 三、极大似然估计法(P130) 二、有效性(P137) 三、一致性(P138) §3 区间估计 一、概念(P140) 五、双正态总体方差比的置信区间(P144) 小结 EX:设 分别为取自总体X的容量为n1,n2的两个独立样本的样本均值,求证:对任意实数 a0,b0,a+b=1 统计量 都是 E(X)的无偏估计,并求a,b使所得统计量最有效. 故对任意实数a0,b0,a+b=1,统计量 都是E(X)的无偏估计. 定义: 设总体X的分布函数F(x;?)含有未知参数?,对于给定值?(0 ?1), 若由样本X1, …, Xn确定的两个统计量 使 则称随机区间 为?的置信度(水平)为1??的置信区间。 二. 正态总体均值与方差的区间估计 1、?2已知 故 1-? 即: 故?的置信度为1??的置信区间为: 例1 已知某大学三年级学生的身高服从正态分布 , 现从该大学三年级学生中抽查10人, 测得身高分别为162,176,163,165,168,172,170,167,175,178. 求总体均值 的置信水平为0.95的置信区间. 解: ?已知时, ?的置信度为1??的置信区间为 这里 故置信区间为 2、?2未知(p141) m的1-a置信区间为 1-? 即得 解: ?未知时, ?的置信度为1??的置信区间为 这里 故置信区间为 例2 设某种袋装食品的重量服从正态分布    ,从某一批此种食品中抽取6袋, 测得重量(单位:g)如下:205, 207, 189, 193, 196, 198. 求此种袋装食品的重量 的置信水平为0.95的置信区间. 三、单正态总体方差的置信区间(P142) 假定m未知, s2的置信度为1??的置信区间为 s的置信度为1??的置信区间为 解: σ2的置信度为1??的置信区间 这里 故置信区间为 例3 某种零件的生产时间(单位:分钟)服从正态分布    , 现观察了20个零件的生产时间, 得到 . 求  的置信水平为0.95的置信区间. 四、双正态总体均值差的置信区间(P143) 其中 可解得 ?1 - ?2 的置信区间: 假定?1,?2未知 习题: 一、是非题 数理统计基本内容包括采集样本和统计推断两大 部分。 2. “统计量”与“估计量”是同一概念。 3. 参数的矩估计不唯一。 4. 极大似然估计是唯一的。 5. 参数的无偏估计是唯一的。 二、 已知某种白炽灯泡寿命服从正态分布,在某星期中所生产的该种灯泡中随机抽取10只,测得其寿命(以小时计)为:1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948. 设总体参数均未知,试用最大似然估计估计该星期中生产地灯泡能使用1300小时以上的概率。 解: 三、设总体X具有分布律 X 1 2 3 Pk θ2 2θ(1- θ) (1- θ) 2 其中θ未知,已知取得了样本值 求θ的矩估计和最大似然估计。 四、设随机变量X的概率密度为 求θ的MLE. * 一.点估计 二.估计量的评选标准 三.区间估计 四.正态总体参数的区间估计 定义: (p128) 设X1, … , Xn是总体X的一个样本,总体分布函数为F(x; ?), ???。其中?为未知参数, ?为参数空间, 若用统计量 g(X1, … , Xn) 作为?的一个估计, 则称其为?的一个估计量,记为 注:F(x;?)也可用分布律或密度函数代替. 若x1, … , xn是样本的一个观测值, 点估计的经典方法有矩估计法与极大似然估计法。 思想:用样本矩作为总体同阶矩的估计,即 理论依据:大数定律。 约定:若 是未知参数?的矩估计,则g(?)的矩估计为g( ). 如设总体为X,其期望、方差的估计。 矩估计法 求法: 1、 计算总体矩。一般来说,总体矩是未知参数的函 数,总体矩个数与未知参数个数相同。 2、 求出未知参数表达式,未知参数为总体矩的函数。 3、 用样本矩代替同阶总体矩,得到未知参数的估计计 算式。 例1 设X1,…,Xn为来自总体b(m,p)的样本,其中m已知,p未知,求p的矩估计。 解: 因 E(X)=mp, 故 即为参数p的矩估计。 EX:设X1, … , Xn为取自参数为?的指数分布总体的样本,求?的矩估计。 解:

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