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第四章 刚体的定轴转动 力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理． 力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理． §4-4 力矩作功 定轴转动的动能定理 一. 力矩作功 设刚体受外力 外力对刚体作的功： --力矩的功 O 力矩的功率为： 说明：所谓力矩的功,实质上还是力的功,并无任何关于力矩的功的新的定义,只是在刚体转动中,用力矩和角位移的积来表示功更为方便而己. 二. 转动动能 刚体动能的表达式:与刚体的运动形式有关. 刚体运动形式不同,刚体动能的表达式不一样. 平动刚体的动能: 各点的速度都相同.应用质点系的动能表达式: 平动刚体的动能等于其质心的动能. 转动动能: 刚体定轴转动,各点的角速度都相同. 三. 刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下,刚体绕定轴转过的角位移为dθ,合外力矩对刚体所作的元功为 刚体绕定轴转动的动能定理 虽然刚体定轴转动动能定理是从质点系的动能定理推导而来,但刚体的转动动能 因为刚体作定轴转动时,其各质元的速度不相等. 注意 四. 定轴转动的功能原理 质点系功能原理对刚体仍成立： 机械能守恒 刚体重力势能： C ——刚体重力势能等于质量集中在质心时的重力势能. 若刚体转动过程中只有重力矩作功,则机械能守恒. 常数 当系统内的物体既作平动又作转动时,动能应该包括系统内平动物体的平动动能和绕定轴转动物体的转动动能,势能是平动物体和转动物体的势能之和. 注意 P125例1 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率?作匀速转动.放上唱片后,唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动.设唱片的半径为R,质量为m,它与转盘间的摩擦系数为?,求：(1)唱片与转盘间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速度?时需要多长时间；(3)在这段时间内,转盘的驱动力矩做了多少功？ R ? 解 (1) 如图取面积元ds = drdl,该面元所受的摩擦力为 此力对点o的力矩为 R ? r dr d? dl 于是,在宽为dr的圆环上,唱片所受的摩擦力矩为 (3) 由 可得在 0 到 t 的时间内,转过的角度为 (2) 由转动定律求? ,(唱片J=mR2/2) （作匀加速转动） 驱动力矩做的功为 由 可求得 或用转动动能定理求解. P126例2 一长为 l , 质量为m 的竿可绕支点O自由转动.一质量为m?、速率为v 的子弹射入竿内距支点为a 处,使竿的偏转角为30o . 问子弹的初速率为多少? 解:子弹、竿组成一系统,应用角动量守恒 射入竿后,以子弹、细杆和地球为系统,E =常量． O P112例3 细杆长为l,质量为m,求转到? 角时的角加速度和角速度. ? G N 细杆受力G 和N , N 对轴O的力矩为零. 重力对转轴的力矩为 重力作的元功 l 由定轴转动的动能定理： 积分并代入: 解: 由转动动能定理解. 刚体的重力势能与它的质量集中在质心时的势能相同. 又解:用机械能守恒来解. O ? G N l 例4 一质量为M、长l的均匀细杆,以O点为轴,从静止在与竖直方向成?0 角处自由下摆,到竖直位置时,与光滑桌面上一质量为m的静止物体（质点）发生弹性碰撞.求碰撞后M的角速度?M 和 m的线速度v m 零势面 解: 杆自由下摆,机械能守恒.设杆摆到竖直位置时角速度为?0 杆与物弹性碰撞过程系统对轴的角动量守恒,机械能守恒: (1)、(2)、(3)式联立解得： 零势面 例5 一质量为M、长为l 的均匀直棒,可绕垂直于棒的一端的水平轴O无摩擦地转动.它原来静止在平衡位置上.现有一质量为m的弹性小球飞来,正好在棒的下端与棒垂直地相撞,相撞后,使棒从平衡位置摆动到最大角度30o 处,(1)这碰撞设为弹性碰撞,试计算小球初速v0的值;(2)相撞时,小球受到多大的冲量 . l l 解: 小球、棒组成一系统,角动量守恒,设碰后小球的速度为v. 棒从平衡位置摆动到最大角度30o,棒和地球组成的系统机械能守恒. 碰撞为弹性碰撞,所以机械能守恒. 注意棒的转动动能不等于平动动能,即 (1)这碰撞设为弹性碰撞,试计算小球初速v0的值. l 由(3)得 由(1)得 (2)相撞时,小球受到多大的冲量 作业: 4-27 4-30 4-34