历届全国大学生数学竞赛预赛解析(数学类).pdfVIP

首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案 （数学类，2009） 一、求经过三平行直线L1 : x y z ，L2 : x − 1 y z + 1 ，L3 : x y + 1 z =− 1 的圆 柱面的方程. 解： 先求圆柱面的轴L0 的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向 是n (1,1,1) ， 且圆柱面经过点O(0,0,0) ， 过点O(0,0,0) 且垂直于n (1,1,1) 的平面π 的方程为：x + y + z 0 . π 与三已知直线的交点分别为O(0,0,0), P(1,0, −1), Q(0, −1,1) 圆柱面的轴L0 是到这三点等距离的点的轨迹， 即 ⎧ 2 2 2 2 2 2 x + y + z (x =−1) + y + (z + 1) ⎪ ⎨ 2 2 2 2 2 2 ， x + y + z x =+ (y + 1) + (z − 1) ⎪ ⎩ 即 x − z 1 ⎧ ⎨ ， y − z =− 1 ⎩ 将L0 的方程改为标准方程 x − 1 y =+1 z . 圆柱面的半径即为平行直线x y z 和x − 1 y =+ 1 z 之间的距离. P (1, −1,0) 0 为L0 上的点. | n × P S | | n × P O | 0 0 对圆柱面上任意一点S (x, y, z) ， 有 ， 即 | n | | n | (−y + z − 1)2 + (x − z − 1)2 + (−x + y + 2)2 6 ， 所以，所求圆柱面的方程为： x 2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz − 3x + 3y 0 . 二、设Cn×n 是n × n 复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间， ⎛ 0 0 0 −an ⎞ ⎜ ⎟ 1 0 0 −a ⎜ n−1 ⎟ F ⎜ 0 1 0 −